Odredi sve funkcije takve da za sve realne brojeve i vrijedi
Odredi sve funkcije $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ takve da za sve realne brojeve $x$ i $y$ vrijedi
$$f(x + f(y)) = f(f(y)) + 2xf(y) + x^2$$
Upozorenje: Ovaj zadatak još niste riješili! Kliknite ovdje kako biste prikazali rješenje.
Neka je , . Uvrštavanjem umjesto te umjesto , dobivamo .
Dakle, funkcije koje su rješenja jednadžbe su funkcije oblika , gdje je neki realan broj.
Uvrštavanjem u početnu jednadžbu vidimo da su sve funkcije takvog oblika rješenja.
, .
Neka je $f(0)=k$, $f(f(0))=g$.
Uvrštavanjem $x-k$ umjesto $x$ te $0$ umjesto $y$, dobivamo $f(x)=g+2xk-2k^2+x^2-2xk+k^2=x^2+g-k^2$.
Dakle, funkcije koje su rješenja jednadžbe su funkcije oblika $x^2+r$, gdje je $r$ neki realan broj.
Uvrštavanjem u početnu jednadžbu vidimo da su sve funkcije takvog oblika rješenja.
$f(x)=x^2+r$ , $r \in R$.
Školjka 
takve da za sve realne brojeve 
i 
vrijedi 
, 
. Uvrštavanjem 
umjesto 
umjesto 
.
, gdje je 
neki realan broj.
, 
. 
)