Rješenja zadatka "Državno natjecanje 2004 SŠ2 2" korisnika "rhldj"

Točno

21. ožujka 2016. 20:19 (8 godine, 1 mjesec)

Korisnik: rhldj
Zadatak: Državno natjecanje 2004 SŠ2 2 (Sakrij tekst zadatka)

Dokažite da za pozitivne brojeve $a, b, c$ vrijedi nejednakost

$\frac{a^2}{(a+b)(a+c)} + \frac{b^2}{(b+a)(b+c)} + \frac{c^2}{(c+a)(c+b)} \geq \frac{3}{4}.$

Upozorenje: Ovaj zadatak još niste riješili!
Kliknite ovdje kako biste prikazali rješenje.

$\displaystyle \Leftrightarrow \frac{a^2(b+c)+b^2(a+c)+c^2(a+b)}{(a+b)(b+c)(a+c)} \geq \frac{3}{4}$

$\displaystyle \Leftrightarrow \frac{(a+b)(b+c)(c+a)-2abc}{(a+b)(b+c)(c+a)} \geq \frac{3}{4}$

$\displaystyle \Leftrightarrow \frac{2abc}{(a+b)(b+c)(c+a)} \leq \frac{1}{4}$

Doista (po AG nejednakosti),
$\displaystyle \frac{2abc}{(a+b)(b+c)(c+a)} \leq \frac{2abc}{2 \sqrt{ab} *2 \sqrt {bc} *2 \sqrt{ca}} = \frac{2abc}{8abc}= \frac{1}{4}$ .

Ocjene: (1)

Komentari:

rhldj, 21. ožujka 2016. 20:20

Hvala, evo sredio sam.

ikicic, 21. ožujka 2016. 18:38

Preporučujem korištenje $$ ... $$ umjesto $ ... $ kako bi razlomci bili veći. Može i pomoću \displaystyle:
$frac{a + b}{c}$ vs. $\displaystyle \frac{a + b}{c}$:
$\frac{a + b}{c}$ vs. $\displaystyle \frac{a + b}{b}$

Školjka

Ocjene: (1)

Komentari: