Neka su , , pozitivni realni brojevi takvi da je . Dokaži nejednakost
%V0
Neka su $a$, $b$, $c$ pozitivni realni brojevi takvi da je $a^2 + b^2 + c^2 = 3$. Dokaži nejednakost $$\frac{1}{1+ab} + \frac{1}{1+bc} + \frac{1}{1+ca} \geqslant \frac{3}{2} \text{.}$$
Upozorenje: Ovaj zadatak još niste riješili! Kliknite ovdje kako biste prikazali rješenje.
Općenito po AH nejednakosti vrijedi: . Primjenom toga dobivamo .
Nađimo sada maksimum . Po AG nejednakosti vrijedi , odnosno iz čega slijedi .
Vratimo se na početak i dobivamo: , što je i trebalo dokazati.
%V0
Općenito po AH nejednakosti vrijedi: $\frac {1}{a} + \frac {1}{b} + \frac {1}{c} \geq \frac{9}{a+b+c}$.
Primjenom toga dobivamo $ LHS \geq \frac {9}{ab+bc+ca+3}$.
Nađimo sada maksimum $ab+bc+ca$.
Po AG nejednakosti vrijedi $ab \leq \frac{(a+b)^2}{4}$, odnosno $ab+bc+ca \leq \frac{2a^2+2b^2+2c^2+2ab+2bc+2ac}{4} = \frac{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca}{2}$ iz čega slijedi $ab+bc+ca \leq a^2+b^2+c^2 = 3$.
Vratimo se na početak i dobivamo: $ LHS \geq \frac{9}{3+3} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}$, što je i trebalo dokazati.
Mislim da se korak s određivanjem maksimuma mogao skratiti korištenjem monotonog preuređenja vektora, iz kojeg odmah slijedi da je . Rješenje je inače sasvim ok.
%V0
Mislim da se korak s određivanjem maksimuma $ab + bc + ca$ mogao skratiti korištenjem monotonog preuređenja vektora, iz kojeg odmah slijedi da je $ab + bc + ca \leq a^2 + b^2 + c^2$. Rješenje je inače sasvim ok.
Školjka 
, 
, 
pozitivni realni brojevi takvi da je 
. Dokaži nejednakost 
.
.
.
, odnosno 
iz čega slijedi 
.
, što je i trebalo dokazati. 
a ne verziju sa kvadratom zagrade. 
mogao skratiti korištenjem monotonog preuređenja vektora, iz kojeg odmah slijedi da je 
. Rješenje je inače sasvim ok.