MetaMath '22 - demo

Prethodni primjer jako dobro ilustrira jedan od osnovnih načina razmišljanja koji koristimo kad rješavamo zadatke s prebrojavanjem. Pri prebrojavanju smo simulirali kako bismo na općeniti (generički) način konstruirali jedan objekt traženog tipa (registarsku oznaku). Taj objekt smo konstruirali tako da smo redom konstruirali manje dijelove tog objekta. U zapisivanju rješenja koristimo oznaku za umnožak prvih $n$ brojeva $$n! = 1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot n.$$ Izraz $n!$ čitamo \textit{n faktorijel}. Posebno definiramo da je $0! = 1$. Ta konvencija je odabrana jer uz nju vrijedi $$n! = n \cdot (n-1)!, \, \text{za sve prirodne brojeve } n.$$ \textbf{Primjer.} Na koliko načina možemo rasporediti $10$ knjiga iz matematike i $5$ iz fizike tako da knjige iz fizike budu sve zajedno? \textbf{Rješenje.} Knjige iz fizike moraju biti zajedno, pa ih promatramo kao jedan \emph{blok}. Kad god baratamo blokovima, potrebno je rasporediti objekte unutar bloka, te rasporediti blokove zajedno s drugim objektima. Pri tome svaki blok tretiramo kao zasebni objekt. Unutar bloka, $5$ knjiga možemo rasporediti na $5!$ načina. Jednom kad smo rasporedili knjige u bloku, taj blok doživljavamo kao jedan objekt koji razmještamo zajedno s $10$ knjiga iz matematike. Ukupno trebamo rasporediti $11$ objekata, što možemo na $11!$ načina. Konačno rješenje je tada $5! \cdot 11!$. \textit{Upišite 0 kao rješenje za prijelaz na sljedeći primjer.}