Školjka

\emph{Anti-Pascalov trokut} je tablica u obliku jednakostraničnog trokuta koja se sastoji od brojeva tako da, osim za brojeve u posljednjem retku, vrijedi da je svaki broj jednak apsolutnoj vrijednosti razlike dva broja koji su neposredno ispod njega. Na primjer, sljedeća tablica je anti-Pascalov trokut sa četiri retka, koji se sastoji od svih prirodnih brojeva od $1$ do $10$. \[\begin{array}{ c@{\hspace{4pt}}c@{\hspace{4pt}} c@{\hspace{4pt}}c@{\hspace{2pt}}c@{\hspace{2pt}}c@{\hspace{4pt}}c } \vspace{4pt} & & & 4 & & & \\\vspace{4pt} & & 2 & & 6 & & \\\vspace{4pt} & 5 & & 7 & & 1 & \\\vspace{4pt} 8 & & 3 & & 10 & & 9 \\\vspace{4pt} \end{array}\] Da li postoji anti-Pascalov trokut sa $2018$ redaka, koji se sastoji od svih prirodnih brojeva od $1$ do $1 + 2 + 3 + \dots + 2018$?

Neka je $a_1$, $a_2$, $\ldots$ beskonačan niz prirodnih brojeva. Pretpostavimo da postoji prirodan broj $N > 1$ takav da je za sve brojeve $n \geqslant N$ $$\frac{a_1}{a_2} + \frac{a_2}{a_3} + \cdots + \frac{a_{n-1}}{a_n} + \frac{a_n}{a_1}$$ cijeli broj. Dokaži da postoji prirodan broj $M$ takav da je $a_m = a_{m+1}$ za sve $m \geqslant M$.