Vrijeme: 17:06

Bojanja: T pločice - RJEŠENJE

Obojajmo ploču šahovski, odnosno ako su retci numerirani 1-10 odozgo prema dolje, a stupci 1-10 slijeva nadesno, obojajmo polja čije koordinate su iste parnosti bijelom bojom, a preostala polja crnom bojom. Na ploči je tada 50 crnih i 50 bijelih polja.

Primijetimo da uz predloženo bojanje vrijedi da svaka T-pločica pokriva ili 3 crna ili 3 bijela polja. Pretpostavimo sada da je ovakvo popločavanje moguće. Kako se ploča sastoji od 100, a T-pločica od 4 polja, iskoristili bismo 25 T-pločica. Recimo da je a pločica postavljeno tako da pokriva 3 crna, a b pločica tako da pokriva 3 bijela polja. Vrijede jednakosti \begin{align*}
a + b &= 25 \\
3a + b &= 50 \\
3b + a &= 50
\end{align*} Izražavanjem b preko a iz prve jednadžbe i uvrštavanjem u drugu dobivamo 2a = 25, što je nemoguće s obzirom da su a i b cijeli brojevi. Dakle, naša pretpostavka je pogrešna i predloženo popločavanje je nemoguće.