MetaMath '22 - demo

Neka je prije nekog susreta $a$ crvenih, $b$ plavih i $c$ zelenih kameleona. Ako se sretnu crveni i plavi kameleon, nakon susreta bit će $a-1$ crvenih, $b-1$ plavih te $c+2$ zelenih kameleona. Ako se sretnu crveni i zeleni kameleon, nakon susreta bit će $a-1$ crvenih, $b+2$ plavih te $c-1$ zelenih kameleona. Ako se sretnu plavi i zeleni kameleon, nakon susreta bit će $a+2$ crvenih, $b-1$ plavih te $c-1$ zelenih kameleona. Primijetimo da su na početku razlike u broju kameleona različitih boja jednake $b-a$, $c-b$ i $a-c$. Nakon bilo kojeg susreta, lako je provjeriti da se svaka od tih razlika ili poveća za $3$ ili smanji za $3$ ili ostane ista. Stoga, invarijanta će ovdje biti ostatak koji promatrane razlike daju pri dijeljenju s $3$. Dakle, zbog pokazanoga ti ostatci ostaju jednaki nakon svakog poteza Zato, budući da je, primjerice, u početnom stanju razlika broja plavih i crvenih kameleona jednaka $2$, ne može se nekim nizom susreta doći u situaciju kada je broj crvenih i plavih kameleona jednak (tada bi razlika bila $0$, što ne daje isti ostatak pri dijeljenju s $3$).