Vrijeme: 21:37

Aritmetičke manipulacije - faktorizacija

Primjer

Neka su a, \, b i c realni brojevi takvi da vrijedi a+b>0, b+c>0 i b<0. Dokažite da vrijedi a^2b + b^2c + c^2a + abc > -ab^2 - bc^2 - ca^2 - abc.

Rješenje

Prebacivanjem svih članova na istu stranu dobivamo a^2b + b^2c + c^2a + ab^2 + bc^2 + ca^2 + 2abc > 0. Izraz na lijevoj strani možemo faktorizirati grupirajući članove na sljedeći način \begin{align*}
a^2b + b^2c + c^2a + ab^2 + bc^2 + ca^2 + 2abc &= (a^2b+ab^2) + (a^2c+abc) + (ac^2+bc^2) + (b^c+abc) \\
&= ab(a+b) + ac(a+b) + c^2(a+b) + bc(a+b) \\
&= (a+b)(ab+ac+c^2+bc) \\
&= (a+b)(a(b+c) + c(b+c)) \\
&= (a+b)(b+c)(c+a)
\end{align*} Dakle, dokažemo li da je (a+b)(b+c)(c+a)>0, biti će dokazana i početna nejednakost. Sada koristimo uvjete zadatka. Već znamo da je a+b>0 i b+c>0 pa preostaje pokazati da je a+c>0. Međutim, iz b<0 slijedi -b>0 dok iz uvjeta a+b>0 imamo a>-b. Dakle, a je pozitivan, a analogno dobivamo i da je c pozitivan pa je zaista i faktor c+a>0 i tvrdnja je dokazana.

Kao rješenje, upišite za koliko je lijeva strana polazne nejednakosti veća od desne strane za a=2, b=-1 i c=3.