MetaMath '22 - demo

Jedno od najzastupljenijih tema teorije brojeva na natjecanjima su \textbf{diofantske jednadžbe}. U širem smislu, to su jednadžbe u kojima nas zanimaju isključivo cjelobrojna rješenja. Zbog toga pri rješavanju ovih jednadžbi često promatramo pojmove poput \textit{djeljivosti} i \textit{prostih brojeva}. Često korištena je \textit{metoda faktorizacije}. Ideja je transformirati početne izraze u umnoške nekoliko manjih izraza. Tada se zadatak često svede na faktorizaciju nekog cijelog broja. \textbf{Primjer} Nađite sva cjelobrojna rješenja jednadžbe $$xy+5y-6x=13.$$ \textbf{Rješenje} Izlučivanjem $y$ na lijevoj strani dobivamo jednadžbu $y(x+5)-6x=13$. Sada želimo i uz $6$ namjestiti faktor $x+5$ pa imamo $y(x+5)-6(x+5)+30=13$. Pritom smo morali dodati $30$ jer smo toliko oduzeli kako bi dobili faktor $x+5$ uz $6$. Daljnjim izlučivanjem faktora $x+5$ slijedi željeni oblik jednadžbe $$(x+5)(y-6)=-17.$$ Kako je $17$ prost broj, imamo samo $4$ slučaja: \begin{enumerate} \item $x+5=-17, y-6=1 \hspace{1 cm} \Rightarrow \hspace{1 cm} (x,y)=(-22,7)$ \item $x+5=-1, y-6=17 \hspace{1 cm} \Rightarrow \hspace{1 cm} (x,y)=(-6,23)$ \item $x+5=1, y-6=-17 \hspace{1 cm} \Rightarrow \hspace{1 cm} (x,y)=(-4,-11)$ \item $x+5=17, y-6=-1 \hspace{1 cm} \Rightarrow \hspace{1 cm} (x,y)=(12,5)$ \text. \end{enumerate} Kao rezultat upišite koliko rješenja (uređenih parova $(x,y)$) ima diofantska jednadžba iz primjera ako na desnoj strani umjesto $13$ stoji $23$.