Vrijeme: 13:16

Ograničavanje nejednakostima

Ideja ove metode je smanjiti skup mogućih rješenja korištenjem nejednakosti. Često to budu jednostavna opažanja, kao što vidimo u sljedećem primjeru.

Primjer

Nađite sve prirodne brojeve a, \, b i c koji zadovoljavaju jednadžbu a+b+c = abc.

Rješenje

Bez smanjenja općenitosti (jer je jednadžba simetrična) možemo pretpostaviti da je a \leq b \leq c. Zato je abc = a+b+c \leq c + c + c = 3c pa slijedi ab \leq 3. Preostaju nam 3 slučaja: \begin{align*}
a=b=1 \ &\Rightarrow \ c+2=c \ \Rightarrow \ \text{nema rješenja} \\
a=1, b=2 \ &\Rightarrow \ c+3=2c \ \Rightarrow \ c=3 \\
a=1, b=3 \ &\Rightarrow \ c+4=3c \ \Rightarrow \ c=2 \ \Rightarrow \ \text{nije u skladu s pretpostavkom } b \leq c  \\
\end{align*} Dakle, sva rješenja su (a,b,c)=(1,2,3) i sve simetrične kombinacije toga.

Kao rezultat upišite ukupan broj svih rješenja u primjeru.