MetaMath '22 - demo

Pomnožimo li cijelu nejednakost s $4(a+1)(b+1)(c+1)$ dobivamo \begin{align*} & \frac{a}{(a+1)(b+1)} + \frac{b}{(b+1)(c+1)} + \frac{c}{(c+1)(a+1)} \geq \frac{3}{4} \\ \Leftrightarrow \ & 4(ac+a)+4(ab+b)+4(bc+c) \geq 3(a+1)(b+1)(c+1) \\ \Leftrightarrow \ & 4(ab+ac+bc)+4(a+b+c) \geq 3abc + 3(ab+ac+bc) + 3(a+b+c) + 3\\ \Leftrightarrow \ & ab+ac+bc+a+b+c \geq 6, \end{align*} pri čemu smo u zadnjoj nejednakosti iskoristili uvjet $abc=1$. Sada primijenimo $A-G$ nejednakost na parove $(ab,c)$, $(ac,b)$ i $(bc,a)$ te dobivamo $$ab+ac+bc+a+b+c \geq 2\sqrt{(ab)c} + 2\sqrt{(ac)b} + 2\sqrt{(bc)a} = 6\sqrt{abc} = 6,$$ ponovno korištenjem danog uvjeta. Time je dokazana posljednja nejednakost pa stoga i početna.