Vrijeme: 11:48

Geometrija - Kružnica: Dvije kružnice - RJEŠENJE

Primijetimo da je \sphericalangle FCA = \sphericalangle ABE jer je četverokut AEBC tetivan. Dokažimo \sphericalangle ABE = \sphericalangle AGH - dovoljno je pokazati da je četverokut AHGB tetivan.

Četverokut AFBD je tetivan pa je \sphericalangle DAB = \sphericalangle DFB = x. Ponovno koristimo činjenicu da je četverokut AEBC tetivan odakle dobivamo \sphericalangle CAB = \sphericalangle CEB = y. Sada je iz \sphericalangle CAB = \sphericalangle CAD + \sphericalangle DAB jasno da je \sphericalangle CAD = y - x.

Vrijedi \sphericalangle HAG = \sphericalangle CAD = y - x, jer su to vršni kutovi. Nadalje, vrijedi i \sphericalangle CEB + \sphericalangle FEB = 180^\circ, tj. kako je \sphericalangle CEB = y imamo \sphericalangle FEB = 180^\circ - y. Iz trokuta EFB proizlazi \sphericalangle FEB + \sphericalangle DFB + \sphericalangle HBG = 180^\circ pa uvrštavajem poznatih kutova dobivamo \sphericalangle HBG = y - x.

Kako je \sphericalangle HBG = \sphericalangle HAG = y - x slijedi da je četverokut AHGB tetivan. Iz toga proizlazi da je \sphericalangle AGH = \sphericalangle ABE, što znači zbog \sphericalangle ABE = \sphericalangle FCA da je \sphericalangle FCA = \sphericalangle AGH, a kako su to kutevi uz presječnicu CG, slijedi da su pravci HG i CF paralelni.