MetaMath '22 - demo

U zadatku smo zaboravili navesti pretpostavku da ne postoje $2$ para djevojčica koje su jednako udaljene. Ovdje je rješenje uz tu pretpostavku. Pretpostavimo suprotno, odnosno da postoji djevojčica $A$ koja će dobiti barem $6$ lopti i neka je to redom (u smjeru kazaljke na satu) od djevojčica $B,C,D,E,F,G$. Primijetimo da je $$\sphericalangle BAC + \sphericalangle CAD + \sphericalangle DAE + \sphericalangle EAF + \sphericalangle FAG + \sphericalangle GAB = 360^\circ.$$ Zato je jedan od $6$ kuteva u sumi manji ili jednak $60^\circ$ - bez smanjenja općenitosti neka je to $\sphericalangle BAC$. Kako znamo da trokut $ABC$ nije jednakostraničan, vrijedi $\sphericalangle ACB > 60^\circ$ ili $\sphericalangle CBA > 60^\circ$. No, onda je dužina $BC$ kraća od dužine $AB$ ili od dužine $AC$ što znači da jedna od djevojčica $B$ i $C$ neće baciti loptu djevojčici $A$ nego drugoj djevojčici iz promatranog trokuta, a to je kontradikcija s pretpostavkom.