Kao što smo najavili na kraju prošlog primjera: moguće je gledati ostatke modulo neki 
, i ne zaključiti da jednadžba nema rješenja, no svejedno možemo zaključiti nešto o jednadžbi.
Primjer.
Odredi sva rješenja jednadžbe 
, gdje su 
i 
prirodni brojevi.
Rješenje.
Za one koji ne znaju, 
se čita kao em faktorijela i oznaka je za umnožak prvih prirodnih brojeva. Dodatno se definira 
. Dakle, 
, 
, 
, itd.
Zadatci s faktorijelima u pravilu koriste činjenicu da već za male izraz daje ostatak 
pri dijeljenju s mnogim brojevima , što reducira moguće ostatke koje izrazi u jednadžbi mogu davati pri dijeljenju s . Samo treba izabrati onaj za koji ćemo saznati najviše, ovisno o preostalim izrazima u jednadžbi.
S desne strane jednakosti nas čeka potpun kvadrat. Zato ponovno možemo gledati ostatke koje jednadžba daje pri dijeljenju s 
. Za 
, broj između ostalog u sebi sadrži umnožak brojeva 
i , pa je sigurno djeljiv s . Zato za takve lijeva strana jednadžbe 
daje ostatak pri dijeljenju s . S druge strane, potpun kvadrat 
može davati samo ostatke ili 
pri dijeljenju s .
Za razliku od prošlog primjera kad smo zaključili da jednadžba uopće nema rješenja, sada zaključujemo da jednadžba nema rješenja u jednom (velikom) slučaju, kada je . Preostalo je riješiti jednadžbu kada je 
, a to možemo direktnom provjerom. Uvrštavajući brojeve 
u izraz , dobivamo redom 
, od kojih je samo potpun kvadrat. Zato je jedino rješenje ove jednadžbe 
.
Ovaj zadatak mogli smo riješiti i gledajući modulo 
(za broj djeljiv je s ), ali i gledajući modulo 
(za 
broj djeljiv je s ). Provjerite kako bi izgledao postupak rješavanja u tim slučajevima.
Zadatci u kojima su nepoznanice prosti brojevi imaju velike sličnosti sa zadatcima u kojima se pojavljuju faktorijeli. U takvim zadatcima isto možete gledati izraze modulo neki , te ako zaključite da je recimo neki prosti broj nužno djeljiv s , zaključili ste da je taj broj nužno jednak , što je sigurno dobar korak u rješavanju zadatka.
Upišite 1 za nastavak.
Kao što smo najavili na kraju prošlog primjera: moguće je gledati ostatke modulo neki $N$, i ne zaključiti da jednadžba nema rješenja, no svejedno možemo zaključiti nešto o jednadžbi.
\textbf{Primjer.}
Odredi sva rješenja jednadžbe $m!+2=n^2$, gdje su $m$ i $n$ prirodni brojevi.
\textbf{Rješenje.}
Za one koji ne znaju, $m!$ se čita kao \textit{em faktorijela} i oznaka je za umnožak prvih $m$ prirodnih brojeva. Dodatno se definira $0! = 1$. Dakle, $1! = 1$, $2! = 2$, $3! = 6$, itd.
Zadatci s faktorijelima u pravilu koriste činjenicu da već za male $m$ izraz $m!$ daje ostatak $0$ pri dijeljenju s mnogim brojevima $N$, što reducira moguće ostatke koje izrazi u jednadžbi mogu davati pri dijeljenju s $N$. Samo treba izabrati onaj $N$ za koji ćemo saznati najviše, ovisno o preostalim izrazima u jednadžbi.
S desne strane jednakosti nas čeka potpun kvadrat. Zato ponovno možemo gledati ostatke koje jednadžba daje pri dijeljenju s $4$. Za $m \geq 4$, broj $m!$ između ostalog u sebi sadrži umnožak brojeva $2$ i $4$, pa je sigurno djeljiv s $4$. Zato za takve $m$ lijeva strana jednadžbe $m!+2$ daje ostatak $2$ pri dijeljenju s $4$. S druge strane, potpun kvadrat $n^2$ može davati samo ostatke $0$ ili $1$ pri dijeljenju s $4$.
Za razliku od prošlog primjera kad smo zaključili da jednadžba uopće nema rješenja, sada zaključujemo da jednadžba nema rješenja u jednom (velikom) slučaju, kada je $m \geq 4$. Preostalo je riješiti jednadžbu kada je $m \leq 3$, a to možemo direktnom provjerom. Uvrštavajući brojeve $m=1,2,3$ u izraz $m!+2$, dobivamo redom $3,4,8$, od kojih je samo $4$ potpun kvadrat. Zato je jedino rješenje ove jednadžbe $(m,n) = (2,2)$.
Ovaj zadatak mogli smo riješiti i gledajući modulo $8$ (za $m \geq 4$ broj $m!$ djeljiv je s $8$), ali i gledajući modulo $3$ (za $m \geq 3$ broj $m!$ djeljiv je s $3$). Provjerite kako bi izgledao postupak rješavanja u tim slučajevima.
Zadatci u kojima su nepoznanice prosti brojevi imaju velike sličnosti sa zadatcima u kojima se pojavljuju faktorijeli. U takvim zadatcima isto možete gledati izraze modulo neki $N$, te ako zaključite da je recimo neki prosti broj nužno djeljiv s $3$, zaključili ste da je taj broj nužno jednak $3$, što je sigurno dobar korak u rješavanju zadatka.
Upišite 1 za nastavak.
