Školjka

Pretpostavimo suprotno, da postoji svega konacno mnogo prostih djeljitelja funkcijskih vrijednosti, neka su to $ p_1, p_2, ..., p_n $, $p_i \vert f(a_i) $ Iz uvjeta onda slijedi $p_i \vert f(a_i + xp_i) $, za svaki $x$ prirodan Dakle po kineskom teoremu ostataka postoji $a$ takav da $\prod = p_1p_2...p_n \ \vert \ f(a) $ Iz uvjeta slijedi $ \lambda = \prod f(a) \ \vert \ x \prod f(a) \ \vert \ f(a + x \prod f(a)) - f(a) $ Posto $v_{p_i} ( \lambda = \prod f(a) ) > v_{p_i}( f(a) ) $ mora vrijediti $ v_{p_i}(f(a)) = v_{p_i}(f(a + x \lambda )) $ pa onda jer $f(t)$ nema nikoje druge proste djeljitelje slijedi $ f(a) = f(a + x \lambda) $ za svaki x prirodan Neka je $b$ neki prirodan takav da $f(a) \neq f(b)$, onda $ a + x \lambda - b \ \vert \ f(a + x \lambda) - f(b) = f(a) - f(b) $, sto je kontradikcija za x dovoljno velik