Solution of task "IMO Shortlist 1995 problem NC3" by user "ivl"

Neocijenjeno

April 9, 2017, 4:54 p.m. (9 years, 5 months)

User: ivl
Task: IMO Shortlist 1995 problem NC3 (Hide problem text)

Determine all integers $n > 3$ for which there exist $n$ points $A_{1},\cdots ,A_{n}$ in the plane, no three collinear, and real numbers $r_{1},\cdots ,r_{n}$ such that for $1\leq i < j < k\leq n$ , the area of $\triangle A_{i}A_{j}A_{k}$ is $r_{i} + r_{j} + r_{k}$ .

Warning: You haven't solved this problem yet.
Click here to display the solution.

Za $n=4$ postoji, uzmimo vrhove jedinicnog kvadrata te sve vrijednosti su $1/6$

Imamo dvije moguce konfiguracije cetiri tocaka, ili cine konveksan cetverokut, ili trokut gdje je cetvrta tocka unutar tog trokuta.
Ako cine konveksan cetverokut, onda je suma suprotnih vrijednosti ista.
Ako cine trokut, onda je suma vrijednosti trokuta plus trostruka vrijednost sredisnje tocke nula.

Za $n=5$ imamo 3 mogucnosti:

Convex hull je peterokut, redom tocke $A, B, C, D, E$ , sa vrijednostima $a, b, c, d, e$
Iz $ABCD$ i $ABCE$ zakljucujemo $e = d$ , pa simetricno su sve vrijednosti iste.
Dakle trokutevi $ABC$ , $ABD$ i $ABE$ imaju istu povrsinu, dakle $C, D, E$ su kolinearne, kontradikcija.

Convex hull je cetverokut, $A, B, C, D$ tim redom cine hull, $E$ je unutar, te BSOMP $E$ se nalazi unutar trokuteva $ABC$ i $ABD$
Iz $ABCD$ i $BCDE$ zakljucujemo $a = e$ , iz $ABCD$ i $ADCE$ slijedi $b = e$
Dakle trokutevi $DCA$ , $DCE$ i $DCB$ imaju istu povrsinu, dakle $A, E, B$ su kolinearne, kontradikcija.

Convex hull je trokut, $A, B, C$ tim redom, $D, E$ su unutar trokuta, BSOMP pravac $DE$ sjece duzine $AC$ i $BC$
Iz $ABCD$ i $ABCE$ slijedi $d = e$
Iz $ABED$ slijedi $a = b$
Iz $AECD$ i $ABCD$ slijedi $e = b$
Dakle trokutevi $ACD$ , $ACE$ i $ACB$ imaju istu povrsinu, dakle $D, E, B$ su kolinearne, kontradikcija.

Školjka