Školjka

%V0 Označimo s $(1)$ početnu nejednakost. Uvrštavanjem $(1,m)$ u $(1)$ dobivamo $$f(m+1) \geq f(m) + f(f(1)) -1 \geq f(m)$$ pa dobivamo da je $f$ neopadajuća. Ideja je sada naći gornju granicu. Pretpostavimo da postoji $t$ tako da je $f(t)>t$. Tada uvrštavanjem $(f(t)-t,t)$ u $(1)$ dobivamo $$f(f(t)) \geq f(f(t)-t)+f(f(t))-1$$ odnosno $$f(f(t) - t) =1$$ Pretpostavimo da je funkcija nekonstantna (konstanta $f(n)\equiv 1$ zadovoljava uvjet i daje moguću vrijednost $1$). Tada, kako je i neopadajuća postoji tek konačan broj prirodnih $m$ takvih da je $f(m)=1$. Razmotrimo onda prirodan $k$ tako da je $f(k)-k=l$ poprima najveću vrijednost. Tada uvrštavanjem $(k,k)$ u $(1)$ dobivamo $$f(2k) \geq 2f(k) - 1 = 2(k+l)-1$$ Također je po pretpostavci o maksimumu $$f(2k)-2k \leq l$$Kombiniranjem te dvije nejednakosti dobivamo $l \leq 1$ odnosno $f(n) \leq n+1$ za svaki prirodan $n$. Stoga $1 \leq f(2007) \leq 2008$. Dokazat ćemo da za svaku prirodnu vrijednost $x \leq 2008$ postoji funkcija $f: \mathbb{N} \mapsto \mathbb{N} $ koja zadovoljava uvjet te je pritom $f(2007) = x $. Za $x=1$ uzimamo konstantu $f(n) \equiv 1$. Ona očito zadovoljava uvjete zadatka. $\checkmark$ Za ostale $x \leq 2007$ definirajmo skup $S_x = \{ 1, 2, \dots , n-x+1 \}$. Ako je $n \in S_x$ neka je $f(n)=1$, a u suprotnom $f(n) = n+x-2007$. Razmatranjem svih slučajeva se lako ustanovi da ovakve funkcije zadovoljavaju uvjet. $\checkmark$. Za $x=2008$ neka je $f(2007) = 2008$ i $f(n)=n$ za $n \neq 2007$. Razmatranjem $m=2007$ i $n=2007$ vidimo da funkcija zadovoljava uvjet, a za $m,n \neq 2007$ se $f$ poklapa s identitetom koja je očito rješenje. $\checkmark$