Školjka

%V0 Uvrstimo li u početnu jednadžbu vrijednost $y=0$ dobijamo $x^2 f(0) = x^2$ $ \Rightarrow f(0) = 1$ Uvedimo funkciju $ m(x) = f(x) - 1$ \, tada vrijedi $m(0) = 0$ \, a početna jednakost postaje: $$ y^2m(x) + x^2m(x) = xy \cdot m(x+y) \qquad \textbf{(*)}$$ Neka $P(x,y)$ označava uvrštavanje varijabli $x,y$ u $\textbf{(*)}$. $P(x,-x) \Rightarrow x^2 m(x) + x^2 m(-x) = 0$ $ \Rightarrow -m(x) = m(-x)$ $P(x,1) \Rightarrow m(x) + x^2 m(1) = xm(x+1) \qquad \textbf{(1)}$ $P(x, -1) \Rightarrow m(x) + x^2 m(-1) = -x m(x-1) \qquad \textbf{(2)}$ Ako u $ \textbf{(2)}$ zamijenimo $x \rightarrow x+1$ dobivamo: $m(x+1) + (x+1)^2 \cdot m(-1) = -(x+1) m(x) \qquad \textbf{(3)}$ Ako iz $\textbf{(1)}$ i $\textbf{(3)}$ izjednačimo $m(x+1)$ i iskoristimo $ m(-1) = -m(1)$ dobivamo: $m(x+1) = \frac{m(x) + x^2 m(1)}{x}$ i $m(x+1) = (x+1)^2 m(1) - (x+1)m(x)$ odakle sređivanjem slijedi $$m(x) (x^2 + x + 1) = x m(1)(x^2 + x + 1)$$ a budući da je $x^2 + x + 1 \geq 0$ za svaki $ x \in \mathbb{R}$ vrijedi $m(x) = m(1)x \Rightarrow f(x) = x m(1) +1$. Ako $m(1) = c \Rightarrow f(x) = cx + 1$ što uvrštavanjem u početnu jednakost zaista jest rješenje.