Školjka

%V0 Neka su $zanimljivi$ brojevi oni s $2005$ znamenaka koje su sve ili $2$ ili $5$ i neka su $superzanimljivi$ brojevi oni koji su $zanimljivi$ i djeljivi s $2^{2005}$ Primijetimo da ima točno $2^{2005}$ $zanimljivih$ brojeva. Pokažemo li da svaka dva daju različit ostatak $mod$ $2^{2005}$, pokazat ćemo da postoji jedinstven $superzanimljivi$ broj. Pretpostavimo suprotno i neka su $a$ i $b$ različiti $superzanimljivi$ brojevi. Tada $2^{2005} | a - b$ iz čega slijedi da $a$ i $b$ imaju jednake zadnje znamenke i $a - b = 10k$. Ali tada $2^{2004} | k$ pa opet imamo istu situaciju jer je $k$ razlika dvaju $2004$ - znamenkastih brojeva sastavljenih od znamenaka $2$ i $5$. Induktivno zaključujemo da su sve znamenke brojeva $a$ i $b$ jednake čime dobivamo kontradikciju s pretpostavkom da su $a$ i $b$ različiti i ovime je dokaz gotov.