Školjka

%V0 Kako bi pronašli neku donju granicu broja $k$ eksperimentiramo sa vrijednostima $a_i > \frac{1}{2}$. Za takve $a_i$ očito vrijedi da je $d=k$ jer u jednu grupu možemo staviti samo ijedan element. Ako posmatramo $a_1=a_2= \cdots =a_k$ uočavamo da je granični $a_i=\frac{n}{2n-1} > \frac{n}{2n}=\frac{1}{2}$ te $$a_1+a_2+ \cdots + a_k= k *\frac{n}{2n-1}=n \Rightarrow k=2n-1$$ odnosno vrijedi da je $k \geq 2n-1 $. Sada dodatno strukturiramo zadatak da bi lakše manipulirali vrijednostima. Odnosno definiramo $k$ kao minimalni broj grupa $g_1,g_2, \cdots, g_k$ koje su sastavljene od brojeva $a_i$, strukturu nam daje činjenica da je $g_i + g_j > 1$, $ \forall i,j$ u protivnom bi mogli sastaviti te grupe u jednu što bi bilo kontradiktorno sa minimalnošću broja $k$. Nadalje imamo $$n= g_1 + g_2 + \cdots + g_k$$ $$2n= (g_1 + g_2) + (g_2+g_3)+ \cdots + (g_k+g_1) > 1 + 1+ \cdots + 1 = k$$ Odakle slijedi $k<2n$ odnosno $k\leq 2n-1$, dakle minimalan broj grupa $k=2n-1$.