Školjka

%V0 Riješimo se prvo desne strane nejednakosti, a to je $$\sum_{cyc} a^4 + 48 \geq 4\sum_{cyc} a^3$$ uočimo ovdje da se $48$ može zapisati u drugom obliku, i to pomoću uvjeta $48=4\cdot 12=4\cdot \sum a^2$ $$\sum_{cyc} a^4 + 48 = \sum_{cyc} a^4 + 4\sum_{cyc} a^2 \geq \sum_{cyc}(2\cdot \sqrt{a^4\cdot 4a^2}) \geq 4\sum_{cyc} a^3$$ Time je desna strana nejednakosti dokazana, prijeđimo sada na težu stranu $$4 \left(a^3+b^3+c^3+d^3\right) - \left(a^4+b^4+c^4+d^4 \right) \geq 36$$ Uočimo da nas izraz $a^4-4a^3$ podsijeća na neku vrstu kvadratne gdje nam malo taj kub smeta, ali eto pokušajmo $$(a-1)^2=a^2-2a+1$$ ali tu nema četvrte potencije... Pa kvadrirajmo još jednom! $$((a-1)^2)^2=(a^2-2a+1)^2=a^4+4a^2+1-4a^3+2a^2-4a$$ i sve nam se poklapa pojavljuje se član $a^4$ i član $4a^3$ i dijelovi sume sa $a^2$ i $a$, koje znamo dakle gornji ružni izraz možemo zapisati kao $$ 4\sum_{cyc} a^3\ - \sum_{cyc}a^4 = 6\sum_{cyc} a^2+4\cdot 1-4\sum_{cyc}a - \sum_{cyc}(a-1)^4 = 72 +4 -24 - \sum_{cyc}(a-1)^4 $$ odnosno ostaje dokazati da je $$\sum_{cyc}(a-1)^4 \leq 16$$ I još jedna stvar koja pomaže u riješavanju zadatka, to jest što nam uvjet hintira je da $$\sum_{cyc} a^2 - 2\cdot\sum_{cyc} a = 0$$ $$ \sum_{cyc}(a-1)^2=4$$ kvadriranjem slijedi $$ \left(\sum_{cyc}(a-1)^2\right)^2=16$$ Odnosno malim raspisom imamo $$16 = \left(\sum_{cyc}(a-1)^2\right)^2 = \sum_{cyc}(a-1)^4 + 2 \sum(a-1)^2(b-1)^2 \geq \sum_{cyc}(a-1)^4$$ $ Q.E.D.$