Školjka

%V0 BSOMP $a>b>c$ a kako su svi elementi N i $ a-1\geqslant b , a-2 \geqslant c$ Dakle sigurno vrijedi $ a(a-1) + (a-1)(a-2) + (a-2)a \geqslant 3k^2 -1\newline \Leftrightarrow 3a^2 - 6a + 3 \geqslant 3k^2 \newline \Leftrightarrow a^2 - 2a +1 \geqslant k^2 \newline \Leftrightarrow a-1 \geqslant k $ Pokažimo da tada zadatak sigurno vrijedi za tri uzastopna broja $ a^3 + (a-1)^3 + (a-2)^3 \geqslant 3a(a-1)(a-2) + 9k \newline \Leftrightarrow 3a^3 -9a^2 + 15a -9 \geqslant 3a^3 -9a^2 + 6a +9k \newline \Leftrightarrow 9a - 9 \geqslant 9k \newline \Leftrightarrow a - 1\geqslant k $ Što smo dokazali da slijedi iz uvjeta zadatka Dakle, za svaka tri uzastopna broja ovo vrijedi. Sada pretpostavimo da postoje neki $x$ i$ y$ takvi da $ x,y \in \mathbb{N}$ $ a > x > y \geqslant 2 $ $3a(a-x)(a-y) + 9k > a^3 + (a-x)^3 + (a-y)^3 \newline a^3 + (a-1)^3 + (a-2)^3 \geqslant 3a(a-1)(a-2) + 9k $ Zbrajanjem ovih nejednakosti dobivamo $(a-1)^3 + (a-2)^3 + 3a(a-x)(a-y) > (a-x)^3 + (a-y)^3 + 3a(a-1)(a-2) \newline \Leftrightarrow 9a + 3xy + x^3 + y^3 > 3x^2a + 3y^2a + 9 $ $ a>x , a>y \Rightarrow x^2a>x^3 , y^2a>y^3$ Pa imamo $ 9a + 3xy > 2x^2a + 2y^2a + 9 \newline x \geqslant 3 \Rightarrow x^2 \geqslant 9 \Rightarrow x^2a \geqslant 9a$ Pa dobivamo $ 3xy > x^2a + 2y^2a + 9 \newline a>x, a>y \Rightarrow xa>xy, ya>xy \Rightarrow x^2a>xy, y^2a>xy $ Pa imamo $ 0>9 $ što je kontrdadikcija. Dakle, ne postoje prirodni brojevi brojevi manji od $a$ takvi da $ a^3 + b^3 + c^3 < 3abc + 9k $