Neocijenjeno
Aug. 20, 2018, 10 p.m. (8 years)
Official solution
Za polinom $P$ vrijedi da nema cjelobrojne nultočke te da za svaki prosti $q$ postoji $k \in \mathbb{N}$ takav da $q \ | \ P(k)$.
a) Postoji li $P$ sa cjelobrojnim koeficijentima?
b) Postoji li $P$ sa cjelobrojnim koeficijentima i vodećim koeficijentom $1$?
\begin{flushright}\emph{(Borna Šimić)}\end{flushright}
Warning: You haven't solved this problem yet.
Click here to display the solution.
a)
Postoji polinom $P$. \\
Jedan primjer takvog polinoma je $$P(x) = (2x-1)(3x-1)$$
Vrijedi $2 \ | \ P(1)$ i $p \ | \ P\bigg(\dfrac{p+1}{2}\bigg)$ za sve neparne proste brojeve $p$.
b)
Postoji polinom $P$. \\
Jedan primjer takvog polinoma je $$P(x) = (x^2-2)(x^2-3)(x^2-6)$$
Vrijedi $2 \ | \ P(2)$ i $3 \ | \ P(3)$, a za sve ostale proste $p$ je zbog
$$\bigg(\frac{2}{p}\bigg) \bigg( \frac{3}{p} \bigg) = \bigg( \frac{6}{p} \bigg)$$
barem jedan od $2, 3, 6$ kvadratni ostatak mod $p$ pa postoji $x$ takav da je jedan od tri faktora djeljiv sa $p$.
Školjka 
vrijedi da nema cjelobrojne nultočke te da za svaki prosti 
postoji 
takav da 
.
?
Vrijedi 
i 
za sve neparne proste brojeve 
.
Vrijedi 
i 
, a za sve ostale proste 
barem jedan od 
kvadratni ostatak mod 
takav da je jedan od tri faktora djeljiv sa