Školjka

Definiramo: $X_i = b_iA+c_i$, $f(x) = | \{ y \leq x : y \in A \} |$, $\phi_i(x) = | \{ y \leq x : y \in X_i \} |$ Vrijedi: $\phi_i(x) = f( \frac{x-c_i}{b_i})$ Prvo primijetimo da je svaki od $X_i$ pa i $A$ beskonačan i promatrajmo slučaj kada $b_i=1$ za neki $i$, WLOG $i=1$: Ako je $n=1$ tvrdnja zadatka vrijedi. Inače za $n\geq 2$ po D.P u $X_2$ postoje dva elementa koji su isti mod $c_1$, neka su to $u<v$. Sada vrijedi $u+kc_1 \in X_1$ što povlači da je $v \in X_1 \Rightarrow\!\Leftarrow$ (jer su $X_1$ i $X_2$ disjunktni) Dalje promatramo kada $b_i \geq 2 \ \forall i$. Pretpostavimo suprotno tvrdnji zadatka. Zbog disjunktnosti vrijedi $f(x) \geq \sum_{i=1}^{n} \phi_i(x)$, dakle $$\sum \frac{\phi_i(x)}{f(x)} \leq 1 < \sum \frac{1}{b_i}$$ (uzmemo $x$ dovoljno velik da $f(x)$ nije 0). Slijedi: $\sum \frac{\phi_i(x)}{f(x)} - \frac{1}{b_i} < 0$, tj. postoji indeks $i_1$ za koji je $\frac{\phi_{i_1}(x)}{f(x)} - \frac{1}{b_{i_1}} < 0$ što je ekvivalentno s: $$f(x) > b_{i_1} f(\frac{x-c_{i_1}}{b_{i_1}})$$ Neka je $x_1 = \frac{x-c_{i_1}}{b_{i_1}}$. Za taj $x_1$ možemo naći odgovarajući indeks $i_2$ i definirati $x_2$ i tako dalje. Prestajemo kad je $x_k < M$ prvi put za neki pozitivan broj $M$ koji uzmemo tako da možemo garantirati da $x_k$ nije premali tj. $f(x_k)>0$. Vrijedi niz nejednakosti: $$f(x) > b_{i_1} f(x_1)$$ $$f(x_1) > b_{i_2}f(x_2) ...$$ $$f(x_{k-1}) > b_{i_k}f(x_k)$$ Kombinirajući: $f(x) > b_{i_1}b_{i_2}...b_{i_k} f(x_k) \geq b_{i_1}b_{i_2}...b_{i_k}$ ili $\frac{f(x)}{x} > \frac{b_{i_1}b_{i_2}...b_{i_k}}{x}$. Uvrštavajući se dobije: $$x_k = \frac{x-c_{i_1}-b_{i1}c_{i2}-...-b_{i_1}b_{i_2}...b_{i_{k-1}}c_{i_k}}{b_{i_1}b_{i_2}...b_{i_k}} < M \implies$$ $$\frac{x}{b_{i_1}b_{i_2}...b_{i_k}} \leq M + \frac{c_{i_k}}{b_{i_k}} + \frac{c_{i_{k-1}}}{b_{i_{k-1}}b_{i_k}}+...+\frac{c_{i_1}}{b_{i_1}b_{i_2}...b_{i_k}}$$ Neka je $c$ maksimalna vrijednost $c_i$ i $b$ minimalna vrijednost $b_i$, tada imamo: $$\frac{x}{b_{i_1}b_{i_2}...b_{i_k}} \leq M + c(\frac{1}{b} + \frac{1}{b^2}+...+\frac{1}{b^k}) < M + c(\frac{1}{b} + \frac{1}{b^2}+...) = M+\frac{c}{b-1}$$ Slijedi da je za velike $x$: $$\frac{f(x)}{x} > \frac{b_{i_1}b_{i_2}...b_{i_k}}{x} > \frac{1}{M+\frac{c}{b-1}}$$ iz čega slijedi: $$\varliminf_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \beta > 0$$ $$\varliminf_{x \to \infty} \frac{\phi_i(x)}{x} = \varliminf_{x \to \infty} \frac{f(\frac{x-c_i}{b_i})}{\frac{x-c_i}{b_i}}\frac{x-c_i}{x} \frac{1}{b_1} = \frac{\beta}{b_i}$$ Sada iz $f(x) \geq \sum_{i=1}^{n} \phi_i(x) \implies \frac{f(x)}{x} \geq \sum_{i=1}^{n} \frac{\phi_i(x)}{x}$ Možemo uzeti limes infimum s obe strane i očuva se nejednakost: $$\varliminf_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \beta \geq \varliminf_{x \to \infty}\sum_{i=1}^{n} \frac{\phi_i(x)}{x} $$ Svojstva limes infimuma nam dopuštaju i da "izvučemo" sumu: $$\varliminf_{x \to \infty}\sum_{i=1}^{n} \frac{\phi_i(x)}{x} \geq \sum_{i=1}^{n} \varliminf_{x \to \infty} \frac{\phi_i(x)}{x} = \sum_{i=1}^{n} \frac{\beta}{b_i}$$ Napokon slijedi: $$\beta \geq \sum_{i=1}^{n} \frac{\beta}{b_i} \implies 1 \geq \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{b_i}$$ Ovo kontradiktira pretpostavku da tvrdnja zadataka ne vrijedi pa smo gotovi.