Neocijenjeno
May 14, 2019, 9:32 p.m. (7 years, 3 months)
Two circles
and
intersect at two points
and
. Let
be the line tangent to these circles at
and
, respectively, so that
lies closer to
than
. Let
be the line parallel to
and passing through the point
, with
on
and
on
. Lines
and
meet at
; lines
and
meet at
; lines
and
meet at
. Show that
.
%V0
Two circles $G_1$ and $G_2$ intersect at two points $M$ and $N$. Let $AB$ be the line tangent to these circles at $A$ and $B$, respectively, so that $M$ lies closer to $AB$ than $N$. Let $CD$ be the line parallel to $AB$ and passing through the point $M$, with $C$ on $G_1$ and $D$ on $G_2$. Lines $AC$ and $BD$ meet at $E$; lines $AN$ and $CD$ meet at $P$; lines $BN$ and $CD$ meet at $Q$. Show that $EP = EQ$.
Warning: You haven't solved this problem yet.
Click here to display the solution.
Neka je K presjek prave AB sa NM.Primjetimo da je KA^2=KM*KN=KB^2.To jeste KA = KB,a to znači da je K središte AB,Zbog AB || CD važi da je i M središte PQ.
Ugao BAM je jednak uglu ACM ,a zbog paralelnosti on je jednak uglu EAB.Slično ugao ABM je jednak uglu BDM, a zbog paralelnosti on je jednak uglu EBA. Sada znamo da su E i M simetrične u odnosu na pravu AB.
EM je okomito na AB,a iz uslova zadatka znamo da je AB paralelno sa PQ,to znači da su trouglovi EMP I EMQ podudarni,a to znači da je EP=EQ.
Q.E.D
Neka je K presjek prave AB sa NM.Primjetimo da je KA^2=KM*KN=KB^2.To jeste KA = KB,a to znači da je K središte AB,Zbog AB || CD važi da je i M središte PQ.
Ugao BAM je jednak uglu ACM ,a zbog paralelnosti on je jednak uglu EAB.Slično ugao ABM je jednak uglu BDM, a zbog paralelnosti on je jednak uglu EBA.
Sada znamo da su E i M simetrične u odnosu na pravu AB.
EM je okomito na AB,a iz uslova zadatka znamo da je AB paralelno sa PQ,to znači da su trouglovi EMP I EMQ podudarni,a to znači da je EP=EQ.
Q.E.D
Školjka