Školjka

Neka su $\omega_B, \omega_C$ kružnice sa promjerima $\overline{AB}, \overline{AC}$. Tada vrijedi $X, Z \in \omega_B$ i $Y, Z \in \omega_C$. $X$ je polovište luka $\widehat{AB}$ kružnice $\omega_B$ pa je $XZ$ simetrala kuta $AZB$ te vrijedi $| \angle XZA | = 45^{\circ}$. Analogno, $| \angle YZA | = 45^{\circ}$ pa imamo: $$| \angle XZY | = | \angle XZA | + | \angle YZA | = 90^{\circ}$$ Neka je $K$ presjek kružnice opisane trokutu $XYZ$ i pravca $BC$ različit od $Z$. Neka je $L$ presjek kružnice opisane trokutu $XYZ$ i pravca $AZ$ različit od $Z$. Zbog $| \angle XZA | = | \angle YZA | = 45^{\circ}$, $K$ je polovište luka $\widehat{XY}$. Zbog $| \angle KAL | = 90^{\circ}$, $\overline{KL}$ je promjer kružnice opisane trokutu $XYZ$ i okomit je na $XY$, pa je on simetrala $\overline{XY}$ te je $K$ presjek $BC$ i simetrale dužine $\overline{XY}$. \\ Dokažimo sada da $K'$, polovište dužine $\overline{BC}$, leži na simetrali $\overline{XY}$. Promotrimo trokutove $XMK'$ i $YNK'$. Vrijedi: $|MX| = \frac{|AB|}{2} = |NK'|$ i analogno $|NY| = |MK'|$. Također, imamo $| \angle XMK'| = 90^{\circ} + | \angle BAC| = | \angle YNK' |$ pa $\triangle XMK' \cong \triangle YNK'$ i vrijedi $|K'X| = |K'Y|$ pa se $K'$ nalazi na simetrali $\overline{XY}$ i vrijedi $K \equiv K'$ a time i $K'$ leži na kružnici opisanoj trokutu $XYZ$, što je i trebalo pokazati.