Školjka

Kao prvo najbolje mi izgleda da izvućem jedinicu iz svakog razlomka na način : $$\frac{a^2 + 1}{a^2 - 1} = 1 + \frac{2}{a^2 - 1}$$ Sad sve to mogu zapisat kao $$99 + \sum_{i = 2}^{100} \frac{2}{(i - 1)(i + 1)}$$ Sad ovo je samo "teleskopiranje" Tako da idemo rastavit na parcijalne razlomke. $$\frac{2}{(i - 1)(i + 1)} = \frac{A}{i - 1} + \frac{B}{i + 1}$$ Obično bi ovaj postupak izostavio na školjci ali sada sam baš od neke volje da sve lipo raspišem. Množenjem sa $(i - 1)(i + 1)$ dobijamo $$2 = A(i + 1) + B(i - 1)$$ Sad uvrstimo $i = -1$ ( da bi se prvi član pokratio) $$B = -1$$ Sad uvrstavamo $i = 1$ (da bi se drugi član pokratio) $$A = 1$$ Znaći ovo su vrlo ljepa rješenja. Sad imamo da je. $$\sum_{i = 2}^{100} \frac{2}{(i - 1)(i + 1)} = \sum_{i = 2}^{100} \frac{1}{ i - 1} - \frac{1}{ i + 1}$$ Idemo raspisati prvih par članova da vidimo kako se pokrati sve. $$\left[\frac{1}{1} - \frac{1}{3}\right] + \left[\frac{1}{2} - \frac{1}{4}\right] + \left[\frac{1}{3} - \frac{1}{5}\right] + ... + \left[\frac{1}{98} - \frac{1}{100}\right] + \left[\frac{1}{99} - \frac{1}{101}\right]$$ Sad nazovimo te parove $a_n - b_n$ Primjetimo kako se $-b_n$ pokrati sa $a_{n + 2}$ Sad pošto je $100 \geq n \geq 1$ imamo da će ostati $$a_1 + a_2 - b_{99} - b_{100}$$ Tako da to je rezultat te sume Rješenje je onda $$99 + 1 + 1/2 - 1/100 - 1/101$$