Školjka

Prvo moramo paziti na uvjete logaritmanda, tj. vrijedi: $ x>0 $ i $ \sqrt {1-\frac x 4} > 0 $. Rješenje prvog uvjeta (nejednadžbe) je $x \in \langle 0, +\infty \rangle$, a drugog uvjeta (nejednadžbe) je $x \in \langle -\infty, 4 \rangle$. Dakle, promatramo x iz intervala $\langle 0, 4 \rangle$. $$(\log_9(x))(\log_9(x))\geq(\log_3(\sqrt {1-\frac x 4} ))(\log_3(\sqrt {1-\frac x 4} ))$$ $$(\log_{{3}^{2}}(x))(\log_{{3}^{2}}(x))\geq(\log_3({(1-\frac x 4)}^{\frac 1 2} ))(\log_3({(1-\frac x 4)}^{\frac 1 2}))$$ $$\frac 1 4 {(\log_3(x))}^{2} \geq \frac 1 4 {(\log_3(1-\frac x 4))}^{2}$$ $$ {(\log_3(x))}^{2} \geq {(\log_3(1-\frac x 4))}^{2}$$ Sad možemo sve korjenovati, pazeći na apsolutnu vrijednost: $$|\log_3(x)| \geq |\log_3(1-\frac x 4)|$$ $$|\log_3(x)| - |\log_3(1-\frac x 4)|\geq 0$$ Odredimo nul - točke: $\log_3(x) = 0 \Rightarrow x_1 = 1$ i $\log_3(\frac {4-x} 4) = 0 \Rightarrow x_2 =0 $. Imamo tri slučaja, ovisno o predznacima:\\ 1° Ako je $ x \le 0$, nije potrebno promatrati. Zbog početnog uvjeta (logaritmanda) nema smisla promatrati ovaj slučaj. \\ 2° Ako je $ x \in \langle 0, 1 ]$:\\ $$ -\log_3(x) + \log_3(\frac {4-x} 4) \geq 0$$ $$ \log_3(x) - \log_3(\frac {4-x} 4) \leq 0 $$ $$ \log_3(\frac{x}{\frac {4-x} 4}) \leq \log_3(1) $$ $$ \frac {4x}{4-x} \leq 1 $$ $$ \frac {4x}{4-x}-1 \leq 0 $$ $$ \frac {4x-(4-x)} {4-x} \leq 0 $$ $$ \frac {5x-4} {4-x} \leq 0 $$ \\ Rješenje ove nejednadžbe $ x \in \langle -\infty, \frac {4} {5}] \cup \langle 4 +\infty \rangle $. Naravno, promatramo samo $ x \in \langle 0, 1 ]$, dakle, rješenje ovog slučaja je $ x \in \langle 0,\frac {4} {5}]$.\\ 3° Ako je $ x > 1$:\\ $$ \log_3(x) + \log_3(\frac {4-x} 4) \geq 0$$ $$ \log_3(x\frac{4-x}{4}) \geq log_3(1)$$ $$ x(4-x) \geq 4$$ $$ 4x-{x}^{2} \geq 4 $$ $$ {(x-2)}^{2} \leq 0$$ Ova nejednadžba ima samo rješenje $x=2$, koje pripada intervalu, u kojem smo promatrali ovaj slučaj.\\ Unija svih slučajeva, tj. rješenje nejednadžbe (ujedno i rješenje zadatka) je $x\in\langle0,\frac 4 5] \cup \{ 2 \}$. (Naravno, pazimo i na početni uvjet!)