Školjka

Prvo moramo napisati uvjete za logaritmande:\\ 1. $x > 0$\\ 2. $ \sqrt{2x+1}-1 > 0 \Rightarrow x > 0$\\ 3. $2x+1>0 \Rightarrow x > -\frac {1} {2}$\\ Dakle, promatramo $x$ iz intervala $\langle 0, +\infty \rangle$. $$2({\log_{{3}^{2}}(x)})^{2} = \log_3(x) \cdot \log_3(\sqrt{2x+1}-1)$$ $$2{(\frac{1}{2}\log_3(x))}^{2}=\log_3(x) \cdot \log_3(\sqrt{2x+1}-1) $$ $$ \frac {1}{2} \log^2_3(x)=\log_3(x) \cdot \log_3(\sqrt{2x+1}-1) $$ (Pazi! Ne krati jednadžbu s $\log_3(x)$ jer ga možeš izlučiti.)\\ $$ \log_3(x)(\log_3(x)-2 \log_3(\sqrt{2x+1}-1))=0$$ Imamo jednadžbu oblika $f \cdot g=0$, koju rješavamo da svaki od faktora ($f,g$) izjednačimo s nulom jer će tada umnožak biti jednak nuli.\\ 1. ($f=0$)$$\log_3(x)=0 \Rightarrow x = 1$$ 2. ($g=0$)$$\log_3(x)-2 \log_3(\sqrt{2x+1}-1) = 0$$ $$\log_3(x)=2 \log_3(\sqrt{2x+1}-1)$$ $$\log_3(x)=\log_3({(\sqrt{2x+1}-1)}^{2})$$ $$ x ={(\sqrt{2x+1}-1)}^{2} $$ Pojednostavljivanjem došli smo do iracionalne jednadžbe čija je rješenja potrebno provjeriti (uvrštavanjem u početnu!) $$x = 2x + 2 + 2\sqrt{2x+1}$$ $$-x-2=2\sqrt{2x+1}$$ $$ x + 2 = -2\sqrt{2x+1}$$ Promotrimo dobivenu jednadžbu. Ako je početni uvjet $x\in \langle 0, +\infty\rangle$, tada je vrijednost $x+2$ uvijek pozitivna. S druge strane jednakosti, možemo primijetiti sličnost; $\sqrt{2x+1} > 0, \forall x \in \langle 0, +\infty\rangle$. Ali ispada da je pozitivna (lijeva) strana jednaka negativnoj (desnoj strani) za navedene $x$, što nije moguće. Dakle, navedena jednadžba, nema rješenja. Jedino rješenje jednadžbe je $x=1$.