Rješenja zadatka "MEMO 2009 pojedinačno problem 1" korisnika "stmmkiki"

Neocijenjeno

7. srpnja 2023. 16:05 (9 mjeseci, 3 tjedna)

Korisnik: stmmkiki
Zadatak: MEMO 2009 pojedinačno problem 1 (Sakrij tekst zadatka)

Find all functions $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , such that $f(xf(y)) + f(f(x) + f(y)) = yf(x) + f(x + f(y))$ holds for all $x$ , $y \in \mathbb{R}$ , where $\mathbb{R}$ denotes the set of real numbers.

Upozorenje: Ovaj zadatak još niste riješili!
Kliknite ovdje kako biste prikazali rješenje.

Vidimo da f(x) = 0 za svaki x zadovoljava jednadžbu

Nadalje neka je c realan broj takav da f(c) nije jednak nuli.

Neka f(a) = f(b)

Uvrštavanjem (c, a) i (c, b) u početnu jednadžbu dobivamo:

f(c f(a)) + f(f(c) + f(a)) = a f(c) + f(c + f(a)) i

f(c f(b)) + f(f(c) + f(b)) = b f(c) + f(c + f(b)), oduzimanjem jednadžbi koristeći f(a) = f(b) dobivamo

0 = f(c) (a - b) i kako f(c) nije nula

0 = a - b odnosno a = b što je injektivnost

Uvrštavanjem (0, 1) u početnu jednadžbu dobije se:

f(0) + f(f(0) + f(1)) = f(0) + f(f(1))

f(f(0) + f(1)) = f(f(1)) zbog injektivnosti je

f(0) + f(1) = f(1) odnosno f(0) = 0

Sada uvrštavanjem y = 0 u početnu jednadžbu dobije se

f(f(x)) = f(x) i po injektivnosti

f(x) = x što radi kao rješenje

Školjka