Solution of task "Državno natjecanje iz matematike 2018, SŠ3 A 2" by user "Patrlk"

Neocijenjeno

Oct. 3, 2023, 7:21 p.m. (2 years, 11 months)

User: Patrlk
Task: Državno natjecanje iz matematike 2018, SŠ3 A 2 (Hide problem text)

Neka je $S = \{0, 95\}$ . U svakom koraku Lucija proširuje skup $S$ tako da odabire neki polinom s koeficijentima iz $S$ , različit od nulpolinoma, te skupu $S$ dodaje sve cjelobrojne nultočke tog polinoma. Postupak nastavlja odabirom drugog polinoma s koeficijentima iz tako proširenog skupa $S$ dok god na taj način može dobiti nove nultočke.

Dokaži da Lucija može konačnim nizom koraka proširiti skup $S$ do skupa koji nije moguće dalje proširiti. Koliko elemenata tada ima skup $S$ ?

Warning: You haven't solved this problem yet.
Click here to display the solution.

Prema rational root theoremu znamo da svako racionalno rješenje mora djelit zadnji član polinoma. A on nikad neće ne djelit $95$ .

Tako da $S$ može imati $9$ elemenata $S = \{-95 , -19 ,-5 , -1 , 0 , 1 , 5 , 19 , 95\}$

Što se sve može postić

Comments:

Patrlk, Oct. 3, 2023, 7:23 p.m.

I ja sam mislia da je moje rješenje loše jer se oslanja na rational root theorem. A u rješenjima su ga samo bubnili kao da je to činjenica koju svako zna.

Školjka

Comments: