Školjka

za $x<0$, $1<1+2^x+2^{2x+1}<2$, pa nema rješenja za $x=0$, $y=\pm 2$ pa je $(x,y)=(0,\pm 2)$ Za $x=1,2$ nema rješenja pa možemo pretpostaviti:$x\ge 3$ $(y-1)(y+1)=2^x(2\cdot 2^x +1)$ $y$ je neparan, pa je $M(y+1,y-1)=M(2,y-1)=2$ (1.)$y+1=2^{x-1}a,y-1=2b,$ $y=2^{x-1}a-1, 2^x+2^{2x+1}=2^{2x-2}a^2-2^xa$ $1+2^{x+1}=2^{x-2}a^2-a\Rightarrow a+1=2^{x-2}a^2-2^{x+1}$ $a+1=2^{x-2}(a^2-8)\ge 2(a^2-8), \forall x \ge 3$ $a+1\ge 2a^2-16\Rightarrow 17\ge 2a^2-a $ Za $a=4$ nema rješenja, pa je $a=1,2,3$. Zbog $a^2-8$, $a\ge 3\Rightarrow a=3, x=4,y=\pm 23$ (2.) $y+1=2a,y-1=2^{x-1}b\Rightarrow y=2^{x-1}b+1$ $$1+2^x+2^{2x+1}=2^{2x-2}b^2+2^xb+1$$ $$1+2^{x+1}=2^{x-2}b^2+b$$ $$1-b=2^{x-2}(b^2-8)$$ $$1-b\ge 2b^2-16\Rightarrow 17\ge 2b^2+b$$ za $b=3$, $17\ge 21$, dakle $b=1,2$ za $b=2$, $2^{x}=1, x=0$ što smo već dobili. Jedina rješenja su $(x,y)=(0,\pm 2)(4,\pm 23)$