Školjka

Poznato je da, ako polinom ima realne koeficijente, ako je $z$ njegova nultočka, onda je $\overline{z}$ također njegova nultočka. \\ Kako je dani polinom trećeg stupnja slijedi da je barem jedna njegova nultočka realna, neka je ta nultočka $\alpha$, a ostale dvije $\beta$ i $\gamma$. \\ Znamo da vrijedi $|\alpha| = |\beta| = |\gamma|=1$ pa slijedi $\alpha \in \{ -1, 1\}$ Budući da $\alpha \in \mathbb{R}$. \\ Pretpostavimo sada da $\beta = \overline{\gamma}$, onda slijedi da $\beta = x+yi, \gamma = x-yi$ za $x, y \in \mathbb{R}$. Imamo dva slućaja: \\ 1) $\alpha=1$ \\ Iz $\alpha^3 + a\alpha^2+b\alpha-1=0$ slijedi $a+b=0 \Leftrightarrow b=-a$. Uvrštavajući slijedi: \\ $z^3 + az^2 - az - 1 = (z-1)(z^2+az+z+1) = (z-\alpha)(z-\beta)(z-\gamma) = (z-1)(z-\beta)(z-\gamma)$\\ Pa: $z^2 + az+z+1=z^2 + z(a+1)+1= (z-\beta)(z-\gamma)$. Sada treba pronaći sve $a$ takve da su nultočke te kvadratne jednadžbe međusobno kompleksno konjugirani brojevi, a to se događa ako je $D=(a+1)^2-4\cdot1\cdot1 \le 0 \Leftrightarrow a \in [-3, 1]$. Onda za te nultočke vrijedi Iz Vieteovih formula $\beta\gamma = (x+yi)(x-yi)=x^2+y^2=|\beta|^2=|\gamma|^2=1$ pa smo gotovi. 2) $\alpha=-1$ \\ Iz $\alpha^3 + a\alpha^2+b\alpha-1=0$ slijedi $-2+a-b=0 \Leftrightarrow b=a-2$. Uvrštavajući slijedi: \\ $z^3 + az^2 + (a-2)z - 1 = (z+1)(z^2-z+az-1) = (z-\alpha)(z-\beta)(z-\gamma) = (z+1)(z-\beta)(z-\gamma)$ \\ Pa $z^2-z+az-1=(z-\beta)(z-\gamma)$, ali, iz Vieteovih formula slijedi: $\beta\gamma = (x+yi)(x-yi)=x^2+y^2=-1$ Što nije moguće jer $x^2 \ge 0 \quad \forall x \in \mathbb{R}$ Sada, ako su dvije nultočke danog polinoma realne, onda je nužno i treća.\\ Pogledajmo sada slućaj kada $\alpha, \beta, \gamma \in \mathbb{R}$\\ onda vrijedi: $\alpha, \beta, \gamma \in \{-1, 1 \}$, ali po Diricheltovom prinicpu slijedi da su neka dva među $\alpha, \beta, \gamma$ jednaki, tj. budući da su realni, onda su i međusobno kompleksno konjugirani, te već imamo pokriven taj slućaj. \\ Odgovor: svi $a \in [-3, -1]$ i $b=-a$