Školjka

u slucaju $p=q=2$, imamo$2^3+2^3=16=4^2$, pa je $(2,2)$ ok par. (1.) pretp. da su $p,q$ neparni. Tada je $p+1$ paran. $p^{q+1}+q^{p+1}=a^2$ $$p^{q+1}=(a-q^{\frac{p+1}{2}})(a+q^{\frac{p+1}{2}})$$ $M(a-q^{\frac{p+1}{2}},a+q^{\frac{p+1}{2}})=d$ $d|2\cdot q^\frac{p+1}{2}$. $d$ nije $2$ jer bi tada $p$ bio paran. ako je $d=1$ imamo: $$a-q^{\frac{p+1}{2}}=1$$ $$a+q^{\frac{p+1}{2}}=p^{q+1}$$ $2\cdot q^{\frac{p+1}{2}}+1=p^{q+1}$ $(p^{\frac{q+1}{2}}-1)(p^{\frac{q+1}{2}}+1)=2\cdot q^{\frac{p+1}{2}}$, no ovo nema rjesenja zato jer su oba dva faktora na lijevoj strani djeljivi sa $2$, pa je lijeva strana dijelijva sa $4$, sto bi znacilo da $2|q$ sto je prema pretpostavci nemoguce. ako je $d=q^x$, $q|p\Rightarrow q=p$ $p^{p+1}+p^{p+1}=2\cdot p^{p+1}=a^2$, ako $2|a^2$, tada $4|a^2$, pa onda $2|p$, sto je nemoguce prema pretpostavci. Dakle, $p,q$ nemogu istovremeno biti neparni. (2.) Pretp. da je barem jedan broj paran. WLOG $q=2$. $p^3+2^{p+1}=a^2$, $p$ je neparan pa je $p+1=2m$ $(a-2^m)(a+2^m)=p^3$. $M(a-2^m,a+2^m)=d$, $d|2^{m+1}$, ako $d=2^k$, $2|p^3$ sto je nemoguce. Preostaje $d=1$. $$a+2^m=p^3$$ $$a-2^m=1$$ $(p-1)(p^2+p+1)=2^{m+1}$ $M(p-1,p^2+p+1)=d$, $d|2p+1,d|2p+1-2(p-1)=3$ Ocito $d\neq 3$, mora biti $d=1$, sto nam kaze da je $p-1=1$, odnosno $p=2$, sto nemoze biti zbog pretpostavke. Dakle jedino rjesenje je $(2,2)$