Školjka

Neka je $z$ kompleksni broj oblika $z = x + yi$, odnosno u trigonometrijskom obliku: $z = r(\cos \phi + i \sin \phi )$.\\ Odredimo prvo "sredimo" izraz $\frac{1}{z}$:\\ $$\frac{1}{x+yi} = \frac{1}{x+yi} \cdot \frac{x-yi}{x-yi} = \frac{x-yi}{{x}^{2}+{y}^{2}}= \frac{x}{{x}^{2}+{y}^{2}} + i \cdot \frac{-y}{{x}^{2}+{y}^{2}}$$ Sada proizlazi: $$(1) \operatorname{Re}{\frac{1}{z}} = \frac{x}{{x}^{2}+{y}^{2}} = 2020,$$ $$(2) \operatorname{Im}{\frac{1}{z}} = \frac{-y}{{x}^{2}+{y}^{2}} = 2020.$$ Dijeljenjem druge jednadžbe s prvom, dobijemo: $$ \frac{y}{x}=\frac{-2020}{2020} = -1 \Rightarrow \tg \phi = -1 \Rightarrow \phi = \frac{3\pi}{4} + k\pi, k\in \mathbb{Z}$$ Naime, argument nekog kompleksnog broja nalazi se u intervalu $[0, 2\pi\rangle$ iz čega proizlazi da je $ \phi \in \{ \frac{3\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}\}$.\\ Ujedno vrijedi i $x = r\cos\phi$ i $y = r\sin\phi$ te se jednadžbe $(1)$ i $(2)$ mogu zapisati u obliku: \\ $$(1) \operatorname{Re}{\frac{1}{z}} = \frac{r\cos\phi}{{(r\cos\phi)}^{2}+{(r\sin\phi)}^{2}} = \frac{r\cos\phi}{{r}^{2}} = \frac{\cos\phi}{{r}} = 2020,$$ $$(2) \operatorname{Im}{\frac{1}{z}} = \frac{-r\sin\phi}{{(r\cos\phi)}^{2}+{(r\sin\phi)}^{2}} = \frac{-r\sin\phi}{{r}^{2}} = \frac{-\sin\phi}{{r}} = 2020.$$ Budući da je $r > 0$, slijedi: $\frac{\cos\phi}{2020} > 0$ i $\frac{-\sin\phi}{2020} > 0$, tj.: \\ $$\cos\phi > 0,$$ $$\sin\phi < 0.$$ Naime, ovaj sustav nejednadžbe ne vrijedi za $\phi = \frac{3\pi}{4}$ što znači da je jedino rješenje: $\phi = \frac{7\pi}{4}$.\\ NAPOMENA: Prilikom kraćenja razlomaka pri dijeljenju jednadžbi (sa ${x}^{2}+{y}^{2}$ i $r$) treba pisati uvjet da su ti izrazi različiti od nule. Međutim, to nije potrebno zato što na početku zadatka mora vrijediti $z \neq 0$ iz čega slijedi svi nenapisani uvjeti.