Školjka

Sredimo jednadžbu koristeći se trigonometrijskim identitetima. Savjet: nemojte odmah izražavati sve preko $\sin x$ i $\cos x$. Možda će to bespotrebno zakomplicirati zadatak. $$\tg x + 6\ctg x= \sqrt{\frac{1-\cos^{2} x}{\cos^{2} x}} - 4 \sqrt{3}$$ $$\tg x + 6\frac{1}{\tg x}= \sqrt{\frac{\sin^{2} x}{\cos^{2} x}} - 4 \sqrt{3}$$ $$\tg x + 6\frac{1}{\tg x}= \sqrt{\tg^{2}x} - 4 \sqrt{3}$$ $$\tg x + \frac{6}{\tg x}= |\tg{x}|- 4 \sqrt{3}$$ Sada imamo jednadžbu s apsolutnom vrijednosti. \\ 1. slučaj: $\tg x < 0 \Rightarrow x \in \langle \frac{\pi}{2} + k\pi, \pi + k\pi\rangle, k\in \mathbb{Z} $\\ Jednadžba poprima oblik: $$\tg x + \frac{6}{\tg x}= -\tg{x}- 4 \sqrt{3}$$ $$2\tg x + \frac{6}{\tg x} + 4 \sqrt{3} = 0$$ $$2\tg^{2} x + 4 \sqrt{3} \tg x + 6 = 0$$ Uvedemo supstituciju $t = \tg x$ (radi jednostavnosti): $$2t^{2} + 4 \sqrt{3}t + 6 = 0$$ $$t^{2} + 2\sqrt{3}t + 3= 0$$ $$(t+\sqrt{3})^{2}= 0 \Rightarrow t = -\sqrt{3} \Rightarrow \tg{x} = -\sqrt{3} \Rightarrow {x} = \frac{2\pi}{3} + k\pi, k\in \mathbb{Z}.$$ Pazi, promatrali smo samo $x \in \langle \frac{\pi}{2} + k\pi, \pi + k\pi\rangle, k\in \mathbb{Z}$ što nas dovodi do zaključka da je rješenje prvog slučaja ${x} = \frac{2\pi}{3} + k\pi, k\in \mathbb{Z}$.\\ 2. slučaj: $\tg x > 0 \Rightarrow x \in \langle0 + k\pi,\frac{\pi}{2} + k\pi\rangle, k\in \mathbb{Z} $\\ Jednadžba poprima oblik: $$\tg x + \frac{6}{\tg x}= \tg{x}- 4 \sqrt{3}$$ $$ \frac{6}{\tg x} = - 4 \sqrt{3}$$ $$\tg{x} = -\frac{\sqrt{3}}{2}.$$ Naime, promatrali smo samo ako je $\tg x > 0$ što znači ma koji god da bio $x$, njegov tangens ne može biti negativan kao što je u ovom slučaju. Dakle, $x\in \emptyset.$\\ Konačno rješenje jednadžbe je: ${x} = \frac{2\pi}{3} + k\pi, k\in \mathbb{Z}$.\\ NAPOMENA: \\ Funkcija $\tg x$ nije definirana za $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$, a funkcija $\ctg x$ za $x =k\pi$, gdje je $k$ cijeli broj. Zato nije ni potrebno pisati uvjete pri množenju jednadžbe s $\tg x$ u oba slučaja jer je on jednak nuli baš onda kad $\ctg x$ nije definiran. Ali vrijedi i obrat: budući da $\ctg x$ nije definiran onda kad je $\tg x$ jednak nuli, tada pri "rastavljanju" na slučajeve kod jednadžbe s apsolutnom vrijednošću smo imali uvjete da je $\tg x$ strogo veći, odnosno strogo manji od nule. Dakle, uvjet prije rješavanja jednadžbe je $x \neq \frac{k\pi}{2}, k\in\mathbb{Z}.$