Školjka

Ovakav tip jednadžbi, kada imamo "miks" vrsta jednadžbi, rješava se traženjem minimuma ili maksimuma obje strane jednadžbe. U našem slučaju, neka je $f(x) = 2^{\sin^{2}x}$, a $g(x) = \sin x$. Jednadžba se može zapisati u obliku $f(x) = g(x)$.\\ Promotrimo prvo jednostavniju funkciju $g$. Skup svih vrijednosti te funkcije je $[-1, 1]$, odnosno $I_{g} = [-1, 1]$.\\ Neka je $h(x) = \sin^{2}x$. Budući da je $h(x)=\left(g(x)\right)^{2}$, funkcija će svaku vrijednost funkcije $g$ kvadrirati, odnosno može kvadrirati samo brojeve iz intervala $[-1,1]$. Dakle, ako je \\ $$g(x) = -1 \Rightarrow h(x) = 1, g(x) = -0.5 \Rightarrow h(x) = 0.25, g(x) = 0 \Rightarrow h(x) = 0, g(x) = 0.5 \Rightarrow h(x) = 0.25, g(x) = 1 \Rightarrow h(x) = 1, ...$$ Vidimo da sve vrijednosti koje možemo dobiti od funkcije $h$, odnosno skup svih vrijednosti funkcije $h$ je zapravo interval $[0,1]$, tj. $I_{h} = [0, 1]$. Nadalje, ako je minimalna vrijednost funkcije $h$ jednaka $0$, onda je najmanja vrijednost funkcije $f$ upravo $f_{min}=2^{0} = 1$, a najveća onda kada je vrijednost funkcije $h$ jednaka $1$, tj. $f_{max}=2^{1} = 2$. Prema tome, slika funkcije $f$ je $I_{f} = [1,2]$.\\ Sad se vratimo na početnu jednadžbu $f(x) = g(x)$, a ta se jednakost može jedino postići ako i samo ako je $f(x) = g(x) = 1$ jer je to jedina vrijednost funkcija koju poprimaju, a da je zajednička. Sada moramo provjeriti poprimaju li tu vrijednost za isti $x$. Ako nisu, jednadžba nema rješenja i obrnuto. $$f(x) = 2^{\sin^{2}x} = 1 \Rightarrow = 2^{\sin^{2}x} = 2^0 \Rightarrow \sin^{2}x = 0 \Rightarrow \sin x = 0 \Rightarrow x = k\pi, k\in\mathbb{Z}$$ $$g(x) = \sin x = 1 \Rightarrow = x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi, k\in\mathbb{Z}$$ Dakle, ne postižu istu vrijednost za isti argument. Jednadžba nema rješenja, odnosno: $x\in\emptyset$.