Školjka

Jedan klasični zadatak koji se rješava matematičkom indukcijom.\\ Neka je $f(n)=2^{n+2} + 3^{2n+1}, n\in\mathbb{N}$. Krenimo na matematičku indukciju:\\ 1. BAZA indukcije $$f(1) = 2^{1+2} + 3^{2\cdot 1 +1} = 8 + 27 = 35$$ Budući da $7$ dijeli $35$, baza indukcije vrijedi.\\ 2. PRETPOSTAVKA indukcije: Pretpostavimo da je dani izraz djeljiv sa $7$ za $\forall n\in\mathbb{N}$.\\ S obzirom na to da je izraz djeljiv sa $7$, onda možemo napisati $f(n)=2^{n+2} + 3^{2n+1}=7k, k\in\mathbb{N}$.\\ 3. KORAK indukcije: $$f(n+1) = 2^{(n+1)+2} + 3^{2(n+1)+1}$$ $$f(n+1) = 2^{n+3} + 3^{2n+3}$$ $$f(n+1) = 2^{n+2} \cdot 2^{1} + 3^{2n+1} \cdot 3^{2}$$ $$f(n+1) = 2\cdot 2^{n+2} + 9 \cdot 3^{2n+1}$$ $$f(n+1) = 2\cdot 2^{n+2} + 2 \cdot 3^{2n+1} + 7 \cdot 3^{2n+1}$$ $$f(n+1) = 2\left(2^{n+2} + 3^{2n+1}\right) + 7 \cdot 3^{2n+1}$$ Uvrstimo li pretpostavku indukcije, dobijemo: $$f(n+1) = 2\cdot 7k + 7 \cdot 3^{2n+1}$$ $$f(n+1) = 7\left(2k + 3^{2n+1}\right),$$ čime je dokaz završen.