Školjka

Neka je točka $S(p, q)$ središte, a $r$ radijus tražene kružnice. Označimo pravce: $p_{1} \equiv x+y +4 = 0$, $p_{2} \equiv 7x-y +4 = 0$, $p_{3} \equiv 4x+3y - 2 = 0$.\\ Iz uvjeta za tangentu kružnice, slijedi:\\ (1) iskoristimo činjenicu da su $p_{1}$ i $p_{2}$ tangente na kružnicu. $$d(p_{1},S)=d(p_{2},S) = r$$ $$\frac{ \left |A_{1}p+B_{1}q+C_{1} \right |}{\sqrt{A_{1}^{2}+B_{1}^{2}}}=\frac{ \left |A_{2}p+B_{2}q+C_{2} \right |}{\sqrt{A_{2}^{2}+B_{2}^{2}}}$$ $$\frac{\left |p+q+4 \right |}{\sqrt{2}}=\frac{\left | 7p-q+4 \right|}{\sqrt{50}}$$ $$\frac{\left |p+q+4 \right |}{\sqrt{2}}=\frac{\left | 7p-q+4 \right|}{5\sqrt{2}}$$ $$5|p+q+4|=7p-q+4$$ Dakle, imamo dvije mogućnosti:\\ (1A) $$5(p+q+4)=7p-q+4 \Rightarrow p-3q-8=0$$ (1B) $$-5(p+q+4)=7p-q+4 \Rightarrow 3p+q+6=0$$ (2) iskoristimo to da vrijedi: $S \in p_{3}$. \\ Za svaku točku na pravcu vrijedi $4x+3y-2 = 0$ pa tako i za koordinate središte, tj. $4p+3q-2$.\\ Dobijemo dva sustava jednadžbi što zavisi o tome koju jednadžbu iz 1 koristimo: \\ A: $$ \left\{\begin{array}{lr} p - 3q - 8 = 0\\ 4p + 3q - 2 = 0\\ \end{array} \right. $$ iz kojeg slijedi: $p = 2, q = -2$. Dakle, $S(2, -2)$. Sada nam preostaje samo dobiti radijus $r$, a to možemo učiniti uvrštavanjem koordinata radijus u jednu od jednadžbi u (1). Slijedi:\\ $$r = d(p_{1},S) = \frac{\left | A_{1}p+B_{1}q+C_{1} \right |}{\sqrt{A_{1}^{2}+B_{1}^{2}}} = \frac{\left | p+q+4 \right |}{\sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$$ Rješenje A: $(x-2)^{2}+(y+2)^{2} = 8$.\\ B: $$ \left\{\begin{array}{lr} 3p + q + 6 = 0\\ 4p + 3q - 2 = 0\\ \end{array} \right. $$ iz kojeg slijedi: $p = -4, q = 6$. Dakle, $S(-4, 6)$. Sada nam preostaje samo dobiti radijus $r$, a to možemo učiniti uvrštavanjem koordinata radijus u jednu od jednadžbi u (1). Slijedi:\\ $$r = d(p_{2},S) = \frac{ \left |A_{2}p+B_{2}q+C_{2} \right |}{\sqrt{A_{2}^{2}+B_{2}^{2}}} = \frac{\left |7p-q+4\right |}{\sqrt{50}} = \frac{30}{5\sqrt{2}} = 3\sqrt{2}$$ Rješenje B: $(x+4)^{2}+(y-6)^{2} = 18$.\\ Dakle, tražene jednadžbe kružnica su: $(x-2)^{2}+(y+2)^{2} = 8$ i $(x+4)^{2}+(y-6)^{2} = 18$.