Školjka

Cilj nam je dokazati da je vrijednost ovog izraza konstanta. Drugim riječima, nakon što "sredimo" izraz, ne smije sadržavati brojeve $a$, $b$ i $c$. $$ = \frac{a+b+c}{a+b} \cdot \frac{b+c+a}{b+c} \cdot \frac{a+c+b}{a+c} - \frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{(a+b)(b+c)(a+c)} $$ $$ = \frac{a+b+c}{a+b} \cdot \frac{a+b+c}{b+c} \cdot \frac{a+b+c}{a+c} - \frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{(a+b)(b+c)(a+c)} $$ $$ = \frac{(a+b+c)^{3}}{(a+b)(b+c)(a+c)} - \frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{(a+b)(b+c)(a+c)} $$ $$ = \frac{(a+b+c)^{3}-(a^{3}+b^{3}+c^{3})}{(a+b)(b+c)(a+c)}$$ Izvest ćemo formulu na koji drugi način možemo izraziti $a^{3}+b^{3}+c^{3}$. $$(a+b+c)^3 = ([a+b]+c)^3 = (a+b)^3 + 3(a+b)^2c +3(a+b)c^2 + c^3$$ $$(a+b+c)^3 = a^3 + 3a^2b+3ab^2+b^3 + c^3 + 3(a+b)c\cdot(a+b+c)$$ $$(a+b+c)^3 = a^3 +b^3 + c^3 + 3ab(a+b) + 3(a+b)c\cdot(a+b+c)$$ $$(a+b+c)^3 = a^3 +b^3 + c^3 + 3(a+b)\cdot(ab+c(a+b+c))$$ $$(a+b+c)^3 = a^3 +b^3 + c^3 + 3(a+b)\cdot(ab+ac+bc+c^2)$$ $$(a+b+c)^3 = a^3 +b^3 + c^3 + 3(a+b)\cdot(a(b+c)+c(b+c))$$ $$(a+b+c)^3 = a^3 +b^3 + c^3 + 3(a+b)(a+c)(b+c) \Rightarrow a^3 +b^3 + c^3 =(a+b+c)^3 - 3(a+b)(a+c)(b+c)$$ Uvrštavanjem u izraz, dobijemo: $$ = \frac{(a+b+c)^{3}-((a+b+c)^3 - 3(a+b)(a+c)(b+c))}{(a+b)(b+c)(a+c)}$$ $$ = \frac{ 3(a+b)(a+c)(b+c)}{(a+b)(b+c)(a+c)} = 3$$ što je i trebalo dokazati. Vrijednost izraza je konstantna i iznosi $3$.