Školjka

Uvedimo supstituciju: $a = 2^x$, $b = 3^y$. Jednadžba postaje: $$(a^2+1)(b^2+1) + 70 = 10(a+1)(b+1)$$ $$a^2b^2 + a^2 + b^2 + 71 = 10ab + 10a + 10b + 10$$ $$a^2b^2 + a^2 + b^2 + 61 + 2ab = 12ab + 10a + 10b$$ $$a^2b^2 + (a+b)^2 + 61 = 12ab + 10(a+b)$$ Uvedimo supstituciju: $c = a+b$, $d = ab$. Jednadžba postaje: $$d^2 + c^2 + 61 = 12d + 10c$$ $$d^2 - 12d + c^2 + 61 - 10c = 0$$ Rješenja kvadratne jednadžbe u $d$ dana su formulom: $$d = \dfrac{12 \pm \sqrt{(-12)^2 - 4(c^2 + 61 - 10c)} }{2} = \dfrac{12 \pm \sqrt{- 4c^2 - 100 + 40c} }{2} = 6 \pm \sqrt{- c^2 - 25 + 10c} $$ Vrijednost pod korijenom $- c^2 - 25 + 10c = -(c - 5)^2$ je nepozitivan broj, a jednadžbu rješavamo u skupu realnih brojeva, stoga je $c = 5$ odakle slijedi $d = 6$. Vraćanjem u supstituciju: $a + b = 5$, $ab = 6$ dobivamo $(a, b) = (2, 3)$ ili $(3, 2)$. U prvom slučaju slijedi $(x, y) = (1, 1)$, a u drugom $(x, y) = (\log_23, \log_32)$