Školjka

%V0 Iz A-H nejednakosti slijedi: $$ x_{0} - x_{n} + \frac{1}{x_{0} - x_{1}} + \frac{1}{x_{1} - x_{2}} + \cdots + \frac{1}{x_{n - 1} - x_{n}} \geqslant x_0-x_n+\dfrac{n^2}{x_0-x_1+x_1-x_2+x_2+ \cdots-x_{n-1}+x_{n-1}-x_n}$$ $$ = x_{0}-x_n + \frac{n^2}{x_0-x_n}$$ Sada treba dokazati da je ovaj izraz $\geqslant 2n$ Stavimo li u jednadžbu $t = x_0-x_n$, imamo: $$t+\frac{n^2}{t} \geqslant 2n $$( ovo treba dokazati ) $$\Leftrightarrow t^2 + n^2 - 2nt \geqslant 0$$ $$\Leftrightarrow (t-n)^2 \geqslant 0$$ A ova nejednakost vrijedi za sve realne brojeve, te je stoga početna nejednakost dokazana. $\blacksquare$