Školjka

Ukoliko bi zaključili $z^2+z+1>0$, $\forall z \in \mathbb{C}$,napravili bi grešku jer relacija uređaja ne vrijedi na skupu kompleksnih brojeva (npr. nejednakost $i > -1$ nema značenja - o njoj ne možemo ništa reći). \\ Dakle, zapišimo broj $z = x + yi$, $x,y \in \mathbb{R}, i^{2} = -1$. Uvrštavanjem u izraz slijedi: $$(x+yi)^2 + x + yi + 1 = x^2 + 2xyi + y^2 \cdot i^2 + x + yi + 1 = x^2 +x+ y^2-1 + i\left(2xy+y\right)$$ Kako bi taj broj bio realan, mora vrijediti da je: $$\mbox{Im} \left(z^2+z+1\right) = 0 \Rightarrow 2xy+y=0$$ i to pozitivan: $$\mbox{Re} \left(z^2+z+1\right) > 0 \Rightarrow x^2 + x - y^2 +1 > 0.$$ Dobiva se sustav: $\begin{cases} 2xy+y=0, \\ x^2 + x - y^2 +1 > 0 \\ \end{cases}$. \\ Jednadžba se može napisati u obliku: $$y(2x+1)=0 \Rightarrow \begin{matrix}y=0\\ 2x+1=0\Rightarrow x = -\frac{1}{2} \end{matrix}.$$ Dakle, imamo dva slučaja:\\ 1. ako je $y = 0$ $$x^2+x+1>0,$$ što očigledno vrijedi za bilo koji realni broj $x$.\\ 2. ako je $x =-\frac{1}{2}$ $$\left(-\frac{1}{2}\right)^2-\frac{1}{2}-y^2+1>0 \Rightarrow -y^2 > - \frac{3}{4} \Rightarrow \left|y\right|< \frac{\sqrt{3}}{2}.$$ Dakle, u Gaussovoj ravnini bit će prikazana unija dva pravca: $$\begin{matrix} y = 0, \forall x \in \mathbb{R} \\ -\frac{\sqrt{3}}{2}<y <\frac{\sqrt{3}}{2} , x =-\frac{1}{2} \end{matrix}.$$ Za vježbu ih nacrtajte!