Školjka

Diskriminante kvadratni jednadžbi redom iznose: $D_{1} = p^{2}-4q$ i $D_{2} = m^{2}-4n$. Naime, zbrajanjem obje diskriminante dobijemo (nazovimo ga) izraz $S$, tj.: $$S= D_{1}+D_{2} = p^2 - 4q + m^{2}-4n = m^{2} + p^{2} - 4(q+n)$$ Iz zadane jednakosti $mp = 2(n+q)$ slijedi da je $q+n=\frac{mp}{2}$ pa se izraz $S$ može zapisati u obliku: $$S= m^{2} + p^{2} - 4 \cdot \frac{mp}{2} = m^{2}+p^{2}-2mp=(m-p)^2.$$ Prema tome, $S \geq 0 \Rightarrow D_{1}+D_{2}\geq0$, $\forall m,n,p,q \in \mathbb{R}$.\\ Kvadratna jednadžba ima realna rješenja (ne nužno različita) ako je njezina diskriminanta veća od nule ili jednaka nuli.\\ Ako pretpostavimo suprotno, da nijedna kvadratna jednadžba nema realna rješenja, tj. ako je $D_{1} < 0$ i $D_{2} < 0$, onda je to u kontradikciji sa $D_{1}+D_{2} \geq 0$. Dakle, nije moguće da obje jednadžbe imaju kompleksna, nerealna rješenja. Drugim riječima, barem jedna od njih ima realna rješenja, kako je i trebalo dokazati.