Školjka

Vrlo kratko riješenje:) Neka je s $b = {p_1}^{e_1} \cdot {p_2}^{e_2}\cdot{p_3}^{e_3}\cdots{p_m}^{e_m}$, odnosno $\{p_1,p_2,\ldots,p_m\}$ je skup prostih dijeljitelja broja $b$, znamo da postoje jer $b>1$. Tada odaberimo bilo koji $q\in\{p_1,p_2,\ldots,p_m\}$ te označimo s $v_q(b)=e$, najveću potenciju broja $q$ koja dijeli $b$. Neka je $b=q^eb'$. Uzmemo $k=q^{e+1}$, pa imamo $q^{e+1} \mid b-a^n$, ali ako $v_q(b)\neq v_q(a^n)$ slijedi da je $v_q(b-a^n) =\min \{e, nv_q(a)\} < e+1$ što je kontradikcija jer iz $q^{e+1} \mid b-a^n\Rightarrow v_q(b-a^n)\ge e+1$. Znači $v_q(b)= v_q(a^n)=nv_q(a)$ iz čega slijedi da $n\mid v_q(b)$, tj. $b=q^{ne'}b'$ za sve $q\in\{p_1,p_2,\ldots,p_m\}$, tj imamo da je $$b={p_1}^{ne_1'} \cdot {p_2}^{ne_2'}\cdot{p_3}^{e_3}\cdots{p_m}^{ne_m'}=({p_1}^{e_1'} \cdot {p_2}^{e_2'}\cdot{p_3}^{e_3'}\cdots{p_m}^{e_m'})^n$$ pa je $b=A^n$ za neki $A$ i to je to. Najssss!