Školjka

Neka je traženi niz $2k-1,2k+1,2k+3$ za neki $k\in\mathbb{N}$. Neka je $a$ znamenka tako da vrijedi $$(2k-1)^2+(2k+1)^2+(2k+3)^2=\overline{aaaa}.$$ Primijetimo da je \begin{align*} (2k-1)^2+(2k+1)^2+(2k+3)^2&=4k^2-4k+1+4k^2+4k+1+4k^2+12k+9\\ &=12k^2+12k+11 \end{align*} Primijetimo da je $12k^2+12k+11\equiv 2\pmod3$, dakle $2\equiv a+a+a+a\equiv4a\equiv a \pmod3\implies a\in\{2,5,8\}$. Kako je $12k^2+12k+11$ neparan broj, iz čega slijedi da i $a$ mora biti neparan, dakle $a=5$. Sada, imamo \begin{align*} 12k^2+12k+116&=5555\\ 12k^2+12k&=5544\\ \implies k^2+k&=462\\ k(k+1)&=21\cdot22\\ \implies k=21 \end{align*} Iz čega slijedi da su traženi brojevi $41, 43$ i $45$.