Školjka

Iz uvjeta imamo $$(x+z)(w+y)=1\implies x+y+z+w\stackrel{\text{AG}}{\ge}2\sqrt{(x+z)(w+y)}=2$$ Nadalje, koristeći nejednakost između potencijskih sredina imamo $$x^{\frac{3}{2}}+y^{\frac{3}{2}}+z^{\frac{3}{2}}+w^{\frac{3}{2}}\ge \frac{(x+y+z+w)^{\frac{3}{2}}}{2}$$ Konačno, $CSB$ u Engel formi nam daje $$\frac {w^3}{x + y + z} + \frac {x^3}{w + y + z} + \frac {y^3}{w + x + z} + \frac {z^3}{w + x + y}\ge\frac{(x^{\frac{3}{2}}+y^{\frac{3}{2}}+z^{\frac{3}{2}}+w^{\frac{3}{2}})^2}{3(x+y+z+w)}\ge \frac{\frac{(x+y+z+w)^3}{4}}{3(x+y+z+w)}\ge \frac{(x+y+z)^2}{12}\ge \frac{1}{3}$$