Školjka

%V0 Vrijedi: $$ \frac{a+1}{a(a+2)}=\frac{1}{2}\frac{a+a+2}{a(a+2)}=\frac{1}{2a}+\frac{1}{2(a+2)}, $$ i potpuno analogno, $$ \frac{b+1}{b(b+2)}=\frac{1}{2b}+\frac{1}{2(b+2)},\ \frac{c+1}{c(c+2)}=\frac{1}{2c}+\frac{1}{2(c+2)}. $$ Primjenom $AH$ nejednakosti i uvjeta zadatka dobivamo $$ \frac{1}{2a}+\frac{1}{2b}+\frac{1}{2c}\stackrel{AH}{\geqslant}\frac{9}{2(a+b+c)}\geqslant\frac{9}{2\cdot3}=\frac{3}{2}, $$ $$ \frac{1}{2(a+2)}+\frac{1}{2(b+2)}+\frac{1}{2(c+2)}\stackrel{AH}{\geqslant}\frac{9}{2(a+b+c)+12}\geqslant\frac{9}{2\cdot3+12}=\frac{1}{2}. $$ Zbrajanjem dobivenih nejednakosti i korištenjem gornjih identiteta slijedi $$ \frac{a+1}{a(a+2)}+\frac{b+1}{b(b+2)}+\frac{c+1}{c(c+2)}\geqslant\frac{3}{2}+\frac{1}{2}=2. $$ Uočimo da ovo uistinu jest najmanja moguća vrijednost zadanog izraza: naime, jednakost se postiže kada se postižu jednakosti u $AH$ nejednakostima i u uvjetu zadatka, a to je u slučaju $a=b=c$ i $a+b+c=3$. Dakle, jednakost se postiže za $a=b=c=1$.