Solution of task "Simulacija županijskog 2016. za prvi razred zadatak 4." by user "MNM"

Neocijenjeno

Feb. 23, 2016, 1:32 p.m. (10 years, 6 months)
Official solution

User: MNM
Task: Simulacija županijskog 2016. za prvi razred zadatak 4. (Hide problem text)

Upisana kružnica trokuta $ABC$ dira stranicu $\overline{BC}$ u točki $D$ . Neka su točke $G$ i $H$ , tim redom, na stranicama $\overline{AB}$ i $\overline{AC}$ takve da su pravci $GH$ i $BC$ paralelni te da je pravac $GH$ tangenta na upisanu kružnicu. Neka je točka $K$ diralište upisane kružnice i pravca $GH$ , a točka $L$ sjecište pravaca $AD$ i $GH$ . Dokažite da vrijedi $|GK|=|HL|$ .

Warning: You haven't solved this problem yet.
Click here to display the solution.

(Link na skicu)

Označimo stranice trokuta $ABC$ standardno sa $a,b,c$ te sa $s$ njegov poluopseg. Neka je $I$ središte upisane kružnice tog trokuta i neka su $E$ , $F$ , tim redom, dirališta upisane kružnice i stranica $\overline{CA}$ i $\overline{AB}$ .
Budući da je $BC\parallel GH$ , trokuti $ABC$ i $AGH$ su slični (to su trokuti s jednakim kutovima), a potpuno analogno slijedi i da su trokuti $ALH$ i $ADC$ slični.
Budući da su odsječci tangenti iz neke točke na kružnicu međusobno jednake duljine, vrijedi $|CD|=|CE|$ , $|AE|=|AF|$ , $|BF|=|BD|$ . Odavde dobivamo $|CD|=s-c$ , a zbog prethodno dokazanih sličnosti slijedi $|LH|=s'-c'$ (gdje smo sa $s'$ , $a'$ , $b'$ , $c'$ redom označili poluopseg i duljine stranica trokuta $ALH$ ).
No, budući da su točke $K$ i $F$ dirališta tangenti na upisanu kružnicu iz točke $G$ , imamo $|GF|=|GK|$ , a analogno dobivamo $|HK|=|HE|$ . Sada slijedi $\begin{equation*} \begin{split} 2|AF| & =|AF|+|AE|\\ & =|AG|+|GF|+|HE|+|AH|\\ & =|AG|+|GK|+|HK|+|AH|\\ & =|AG|+|GH|+|AH|\\ & =2s'. \end{split} \end{equation*}$ Dakle, $|AF|=s'$ pa $|GK|=|GF|=s'-c=|HL|,$ što je i trebalo pokazati.

Školjka