Rješenja zadatka "Županijsko natjecanje 2010 SŠ2 5" korisnika "rhldj"

Točno

6. ožujka 2016. 19:34 (8 godine, 1 mjesec)

Korisnik: rhldj
Zadatak: Županijsko natjecanje 2010 SŠ2 5 (Sakrij tekst zadatka)

Kvadratna ploča podijeljena je na $5\times 5$ jediničnih kvadrata (polja). Na nju postavljamo osam triomina, tako da samo jedno polje ploče ostane nepokriveno.

Triomino je lik sastavljen od tri jedinična kvadrata kao na slici:

{{ Greška pri preuzimanju img datoteke. (Nevaljan broj?) }}

Odredi koja sve polja dane kvadratne ploče mogu ostati nepokrivena pri takvom popločavanju.

Upozorenje: Ovaj zadatak još niste riješili!
Kliknite ovdje kako biste prikazali rješenje.

Obojimo ploču crno i bijelo kao na "slici":

$CBCBC$
$BBBBB$
$CBCBC$
$BBBBB$
$CBCBC$

Imamo $9C$ i $16B$ polja.
Imamo dva tipa triomina: $3B,0C$ ili $2B,1C$ . Ako prvih ima $x$ , tada drugih ima $8-x$ , a bijelih polja $2x+3(8-x)=24-x \in \{ 15,16 \}$ pa je jedino moguće $x=8$ odnosno izbačeno polje je crne boje.
Preostaje dati primjere za sva tri tipa crnog polja na slici: kutno polje, centralno polje, polje na središtu brida. Nije potrebno zasebno davati primjere za sva crna polja jer su po simetriji ekvivalentna.

Evo popločavanja (izbačeno polje označeno s $0$ , iste pločice označene istim brojem).
$11244$
$13224$
$33077$
$55678$
$56688$ za centralno polje izbačeno

$11022$
$15442$
$55433$
$66738$
$67788$ za sredinu brida

$01144$
$21334$
$22355$
$87756$
$88766$ za kutno polje

Školjka

Ocjene: (1)